Số phần tử của tập hợp các số tự nhiên không quá 20 là

Phủ định của mệnh đề “số 3 là số nguyên tố” là mệnh đề

Cho hai tập hợp $A=\{0;2;4\}$, $B=\{0;1;2;3\}$. Tập hợp $A\cap B$ là

Cho mệnh đề chứa biến $P(n)=2n-3<0$, với $n\in \mathbb{N}$. Mệnh đề đúng là

Trong các trường hợp A, B, C, D sau đây, trường hợp nào thì mệnh đề A tương đương với B là một mệnh đề đúng?

Phủ định của mệnh đề $A:"\forall x\in \mathbb{R},x^2\ge 0"$ là mệnh đề

Cho tập hợp $A=\{x\in \mathbb{R}|2x-5>0\}$. Tập hợp A được viết dưới dạng khoảng, đoạn là

Lớp 10A4 có 20 học sinh tham gia câu lạc bộ bóng đá và 16 học sinh tham gia câu lạc bộ bóng rổ. Biết rằng có 10 học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ trên. Các khẳng định sau đúng hay sai?

Cho các tập hợp $A=(-\infty ;m)$, $B=[3m-1;3m+3]$, $m\in \mathbb{R}$.

Người ta tiến hành khảo sát 100 người về hai bộ phim A và B đã được khởi chiếu trong tuần qua và ghi nhận được kết quả như sau: Có 64 người đã xem phim A, 52 người đã xem phim B và 12 người chưa xem phim nào. Hỏi trong 100 người được khảo sát đó, có bao nhiêu người chỉ xem đúng một phim A?

Cho tập hợp $A=\{x\in \mathbb{Z}|x^2-16\le 0\}$. Hỏi có bao nhiêu tập con của A gồm đúng hai phần tử?

Lớp 10B có 42 học sinh trong đó có 37 em biết chơi đá cầu, 35 em biết chơi cầu lông, 30 em biết chơi cả đá cầu và cầu lông. Hỏi lớp 10B có bao nhiêu học sinh không biết chơi đá cầu và không biết chơi cầu lông?

Cho $m$ là một tham số thực và hai tập hợp $A=[1-2m;m+3]$, $B=\{x\in \mathbb{R}|x\ge 8-5m\}$. Có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên để $B\setminus A=B$.

Cho tập hợp $E=\{1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$ và các tập hợp con $A=\{1;2;3;4\}$, $B=\{2;4;6;8\}$. Xác định $C_{E}A$, $C_{E}B$, $C_E(A\cup B)$, $C_{E}A\cap C_{E}B$

Trong một khoảng thời gian nhất định, tại một địa phương, Đài khí tượng thủy văn đã thống kê được: Số ngày mưa: 10 ngày; Số ngày có gió: 8 ngày; Số ngày lạnh: 6 ngày; Số ngày mưa và gió: 5 ngày; Số ngày mưa và lạnh: 4 ngày; Số ngày lạnh và có gió: 3 ngày; Số ngày mưa, lạnh và có gió: 1 ngày. Vậy có bao nhiêu ngày thời tiết xấu?

Cho tập hợp $S=\{1;2;3;4;5;6\}$. Biết các tập con $A,B$ của $S$ thoả $A\cup B=\{1;2;3;4\}$; $A\cap B=\{1;2\}$; $3\notin A$; $4\notin B$ có số phần tử lần lượt là $x$ và $y$. Tính giá trị biểu thức $x+2y+2025$.

Ký hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề: “3 là một số tự nhiên”?

Cho $A=\{x\in {\mathbb{N}}^{\ast },x<10,x⋮3\}$. Chọn khẳng định đúng.

Cho tập hợp $A=\{x+1\mid x\in \mathbb{N},x\le 5\}$. Tập hợp $A$ là:

Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp $X=\{x\in \mathbb{Z}\mid 2x^2-3x+1=0\}$.

Cho tập hợp $X=\{a;b\},Y=\{a;b;c\}$. $X\cup Y$ là tập hợp nào sau đây?

Cho tập hợp $A=\{0;3;4;6\}$. Số tập hợp con gồm hai phần tử của $A$ là:

Tập hợp nào sau đây có đúng hai tập hợp con?

Cho tập hợp $A$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Cho tập hợp $X=\{1;5\},Y=\{1;3;5\}$. Tập $X\cap Y$ là tập hợp nào sau đây?

Cho tập $X=\{2;4;6;9\},Y=\{1;2;3;4\}$. Tập nào sau đây bằng tập $X\setminus Y$?

Cho các tập $A=\{x\in \mathbb{R}\mid x\ge -1\}$, $B=\{x\in \mathbb{R}\mid x<3\}$. Tập $\mathbb{R}\setminus (A\cap B)$ là:

Ký hiệu $H$ là tập hợp các học sinh của lớp 10A. $T$ là tập hợp các học sinh nam, $G$ là tập hợp các học sinh nữ của lớp 10A. Khẳng định nào sau đây sai?

Cho tập hợp $X=\{-3;-1;0;1;3\}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Cho hai tập hợp $A=\{x\in \mathbb{R}\mid |x|<3\}$, $B=[-2;2]$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Cho hai tập hợp: $A=\left[m-3;m+2\right],B=\left(-3;5\right)$ với $m\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để: $A\subset B$

Cho tập hợp $B=\left\{x\in \mathbb{Z}|\left|x^2+1\right|\le 2\right\}$. Tập hợp $B$ có bao nhiêu tập con gồm 2 phần tử?

Một lớp học có 25 học sinh chơi bóng đá, 23 học sinh chơi bóng bàn, 14 học sinh chơi cả bóng đá và bóng bàn, 6 học sinh không chơi môn nào. Tìm số học sinh chỉ chơi một môn thể thao?

Một 10C14 có 45 học sinh chuẩn bị cho hội diễn văn nghệ chào mừng ngày nhà giáo Việt Nam 20/11. Trong danh sách đăng kí tham gia tiết mục nhảy Flashmob và tiết mục hát, có 35 học sinh tham gia tiết mục nhảy Flashmob, 10 học sinh tham gia cả hai tiết mục. Hỏi có bao nhiêu học sinh trong lớp tham gia tiết mục hát? Biết rằng lớp 10C14 có bạn Kiệt, Hạ, Toàn, Thiện bị khuyết tật hòa nhập nên không tham gia tiết mục nào.

Cho các tập hợp $A=\left\{-2;1;2\right\};B=\left\{x\in {\mathbb{Z}}^{\ast }|\left(x^2-4\right)\left(x^3-4x^2+3x\right)=0\right\}$ và $C=\left\{x\in \mathbb{R}|x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+m=0\right\}$. Xác định số phần tử $m$ để $\left(A\cup C\right)=B$.

Cho hai tập hợp $A=\left\{x\in \mathbb{R}|\left|x-m\right|\le 25\right\}$ và $B=\left\{x\in \mathbb{R}|\left|x\right|\ge 2020\right\}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên $m$ thỏa $A\cap B=\varnothing$

Một nhóm có 12 học sinh chuẩn bị cho hội diễn văn nghệ. Trong danh sách đăng kí tham gia tiết mục múa và tiết mục hát của nhóm đó, có 5 học sinh tham gia tiết mục múa, 3 học sinh tham gia cả hai tiết mục. Hỏi có bao nhiêu học sinh trong nhóm tham gia tiết mục hát? Biết có 4 học sinh của nhóm không tham gia tiết mục nào.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Miền nghiệm của bất phương trình $-x+2+2\left(y-2\right)<2\left(1-x\right)$ là nửa mặt phẳng chứa điểm

Câu nào sau đây đúng? Miền nghiệm của bất phương trình $4\left(x-1\right)+5\left(y-3\right)>2x-9$ là nửa mặt phẳng chứa điểm

Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình $2x+y<1$?

Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x+y-3>0$?

Miền nghiệm của bất phương trình $-3x+y+2\le 0$ không chứa điểm nào sau đây?

Miền nghiệm của bất phương trình $3(x-1)+4(y-2)<5x-3$ là nửa mặt phẳng chứa điểm

Miền nghiệm của bất phương trình $x+3+2(2y+5)<2(1-x)$ không chứa điểm nào sau đây?

Miền nghiệm của bất phương trình $\left(1+\sqrt{3}\right)x-\left(1-\sqrt{3}\right)y\ge 2$ chứa điểm nào sau đây?

Miền nghiệm của bất phương trình $x+3+2\left(2y+5\right)<2\left(1-x\right)$ là nửa mặt phẳng chứa điểm

Miền nghiệm của bất phương trình $x-2+2(y-1)>2x+4$ chứa điểm nào sau đây?

Một đội sản xuất cần 3 giờ để làm xong sản phẩm loại $I$ và 2 giờ để làm xong sản phẩm loại $II$. Biết thời gian tối đa cho việc sản xuất hai sản phẩm trên là 18 giờ. Gọi $x,y$ lần lượt là số sản phẩm loại $I$, loại $II$ mà đội làm được trong thời gian cho phép. Khi đó:

Một trò chơi chọn ô chữ đơn giản mà kết quả gồm một trong hai khả năng: Nếu người chơi chọn được chữ $A$ thì người ấy được cộng 3 điểm, nếu người chơi chọn được chữ $B$ thì người ấy bị trừ 1 điểm. Người chơi chỉ chiến thắng khi đạt được số điểm tối thiểu là 20. Gọi $x,y$ theo thứ tự là số lần người chơi chọn được chữ $A$ và chữ $B$. Khi đó:

Một cửa hàng có kế hoạch nhập về 110 chiếc xe mô tô gồm hai loại $A$ và $B$ để bán. Mỗi chiếc xe loại $A$ có giá 30 triệu đồng và mỗi chiếc xe loại $B$ có giá 50 triệu đồng. Để số tiền dùng để nhập xe không quá 4 tỉ đồng thì cửa hàng cần nhập $m$ chiếc xe loại $A$ và $n$ chiếc xe loại $B$. Khi đó $m+n$ bằng bao nhiêu?

Bạn Việt mang 100000 đồng ra chợ mua hoa cúc và hoa hồng. Một bông hoa cúc có giá 3000 đồng, một bông hoa hồng có giá 6000 đồng. Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số bông hoa cúc và số bông hoa hồng bạn Việt mua. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x,y$ để biểu diễn số tiền Việt mua hoa cúc và hoa hồng có dạng $ax+6y\le b$ với $a,b\in \mathbb{N}$. Tính giá trị biểu thức $T=a+b$

Một cửa hàng bán hai loại đồ uống có tên là “Giọt lệ thiên thần” và “Giọt lệ ác quỷ”. Bốn ly “Giọt lệ thiên thần” có giá 600000 đồng, ba ly “Giọt lệ ác quỷ” có giá 540000 đồng. Hàng tháng, cửa hàng này phải chi trả 6000000 đồng tiền thuê nhân viên, 8000000 đồng tiền thuê mặt bằng, 3000000 đồng tiền nguyên liệu. (Ngoài ra cửa hàng không tốn thêm bất kỳ chi phí gì và thu nhập của cửa hàng chỉ đến từ việc bán hai loại đồ uống trên). Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số ly “Giọt lệ thiên thần” và “Giọt lệ ác quỷ” mà cửa hàng bán được trong một tháng. Điều kiện của $x$ và $y$ để doanh thu của cửa hàng trong một tháng có lãi thoả mãn bất phương trình $ax+by\le 1700$ với $a,b\in \mathbb{N}$. Tính giá trị biểu thức $T=2a+b$

Bạn Hương mang 600 000 đồng đi siêu thị mua thực phẩm (gồm thịt và rau) cho gia đình gồm 4 người dùng trong 4 ngày. Biết rằng mỗi kg thịt có giá 120 000 đồng, mỗi kg rau có giá 30 000 đồng và siêu thị chỉ bán hàng theo kg chứ không bán lẻ. Nếu gọi $x$ là số kg thịt và $y$ là số kg rau mà Hương mua thì điều kiện của $x,y$ thoả mãn bất phương trình $ax+by\le 20$ với $a,b\in \mathbb{N}$. Tính giá trị biểu thức $T=2a+3b$

Tìm giá trị của tham số $m$ sao cho $$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=2\end{array}$$ là nghiệm của bất phương trình $mx+(m-1)y>2$.

Cho tam giác $ABC$ có $A(1;2)$, $B(-3;-1)$ và $C(3;-4)$. Tìm điều kiện của tham số $m$ để điểm $$M\left(m;\frac{m-5}{3}\right)$$ nằm bên trong tam giác $ABC$?

Anh An là nhân viên bán hàng tại siêu thị điện máy. Anh An kiếm được một khoản hoa hồng 600 nghìn đồng cho mỗi máy giặt và 1,3 triệu đồng cho mỗi tủ lạnh mà anh ấy bán được. Hỏi để nhận được từ 10 triệu đồng trở lên tiền hoa hồng thì anh An cần bán bao nhiêu máy giặt và tủ lạnh?

Trong các cặp số sau, cặp nào không là nghiệm của hệ bất phương trình $$\{\begin{array}{l}x+y-2\le 0\\ 2x-3y+2>0\end{array}$$ là

Miền nghiệm của hệ bất phương trình $$\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}+\frac{y}{3}-1\ge 0\\ 2(x-1)+\frac{3y}{2}\le 4\\ x\ge 0\end{array}$$ là phần mặt phẳng chứa điểm

Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $$\{\begin{array}{l}2x+3y-1>0\\ 5x-y+4<0\end{array}$$?

Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $$\{\begin{array}{l}2x-5y-1>0\\ 2x+y+5>0\\ x+y+1<0\end{array}$$?

Miền nghiệm của hệ bất phương trình $$\{\begin{array}{l}x-y>0\\ x-3y+3<0\\ x+y-5>0\end{array}$$ là phần mặt phẳng chứa điểm

Miền nghiệm của hệ bất phương trình $$\{\begin{array}{l}3x+y\ge 9\\ x\ge y-3\\ 2y\ge 8-x\\ y\le 6\end{array}$$ là phần mặt phẳng chứa điểm

Cho hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x+y>0\\ 2x+5y<0\end{array}$ có tập nghiệm là $S$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}3x+y\ge 6\\ x\ge y-3\\ 2y\ge 8-x\\ y\le 4\end{array}$ là phần mặt phẳng chứa điểm:

Miền tam giác $ABC$ kể cả ba cạnh sau đây là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ bất phương trình dưới đây?

Cho hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x>0\\ x+\sqrt{3}y+1\le 0\end{array}$ có tập nghiệm là $S$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Cho hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x>0\\ x+\sqrt{3}y+1>0\end{array}$ có tập nghiệm là $S$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Cho hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x-y>3\\ 1-\frac{1}{2}x+y>0\end{array}$ có tập nghiệm $S$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Cho hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{l}3x+2y\ge 9\\ x-2y\le 3\\ x+y\le 6\\ x\ge 1\end{array}$ $(I)$. Khi đó:

Bà Lan được tư vấn bổ sung chế độ ăn kiêng đặc biệt bằng cách sử dụng hai loại thực phẩm khác nhau là $X$ và $Y$. Mỗi gói thực phẩm $X$ chứa 20 đơn vị canxi, 20 đơn vị sắt và 10 đơn vị vitamin $B$. Mỗi gói thực phẩm $Y$ chứa 20 đơn vị canxi, 10 đơn vị sắt và 20 đơn vị vitamin $B$. Yêu cầu hàng ngày tối thiểu trong chế độ ăn uống là 240 đơn vị canxi, 160 đơn vị sắt và 140 đơn vị vitamin $B$. Mỗi ngày không được dùng quá 12 gói mỗi loại. Khi đó:

Cho hệ bất phương trình: $$\{\begin{array}{l}x-y+4\ge 0\\ x+y\le 0\\ x\le 0\\ y+2\ge 0\end{array}.$$ Miền nghiệm của hệ tạo thành đa giác có $n$ cạnh, với $n$ là số tự nhiên. Xác định $n$

Cho biểu thức $T=3x-2y-4$ với $x$ và $y$ thỏa mãn hệ bất phương trình: $$\{\begin{array}{l}x-y-1\le 0\\ x+4y+9\ge 0\\ x-2y+3\ge 0\end{array}.$$ Biết $T$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $x=x_0$ và $y=y_0$. Tính $x_0^2+y_0^2$.

Cho hệ bất phương trình: $$\{\begin{array}{l}x+y\ge 5\\ x-2y\le 2(II)\\ y\le 3\end{array}.$$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ trong $\left[-20;20\right]$ để bất phương trình $2x-5y+m\ge 0$ nghiệm đúng với mọi cặp số $(x;y)$ thỏa mãn hệ bất phương trình (II).

Nhân dịp tết Trung thu, xí nghiệp sản xuất bánh muốn sản xuất hai loại bánh: bánh nướng và bánh dẻo. Để sản xuất hai loại bánh này, xí nghiệp cần: đường, bột mì, trứng, mứt bí, lá xương. Xí nghiệp đã nhập về $600kg$ bột mì và $240kg$ đường, các nguyên liệu khác luôn đáp ứng được số lượng mà xí nghiệp cần. Mỗi chiếc bánh nướng cần $120g$ bột mì, $60g$ đường. Mỗi chiếc bánh dẻo cần $160g$ bột mì và $40g$ đường. Theo khảo sát thị trường, lượng bánh dẻo tiêu thụ không vượt quá ba lần lượng bánh nướng và sản phẩm của xí nghiệp sản xuất luôn được tiêu thụ hết. Mỗi chiếc bánh nướng lãi 8000 đồng, mỗi chiếc bánh dẻo lãi 6000 đồng. Để đáp ứng nhu cầu thị trường; đảm bảo lượng bột mì, đường không vượt quá số lượng mà xí nghiệp đã chuẩn bị và vẫn thu được lợi nhuận cao nhất thì xí nghiệp phải sản xuất $m$ chiếc bánh nướng và $n$ chiếc bánh dẻo, với $m;n$ là các số tự nhiên. Tính giá trị $\frac{m+n}{6}$

Các số $x$ và $y$ thỏa mãn hệ bất phương trình $$\{\begin{array}{l}3x-y\ge -1\\ 2x+y\le 6\\ x+3y\ge 3\end{array}(\ast ).$$ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $f(x;y)=2x-3y+1$

Một nhà khoa học đã nghiên cứu về tác động phối hợp của hai loại Vitamin $A$ và $B$ đã thu được kết quả như sau: Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị Vitamin cả $A$ lẫn $B$ và có thể tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin $A$ và không quá 500 đơn vị vitamin $B$. Do tác động phối hợp của hai loại vitamin trên nên mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị vitamin $B$ không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin $A$ và không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin $A$. Tính số đơn vị vitamin mỗi loại ở trên để một người dùng mỗi ngày sao cho chi phí rẻ nhất, biết rằng mỗi đơn vị vitamin $A$ có giá 9 đồng và mỗi đơn vị vitamin $B$ có giá 7,5 đồng.

Trong năm nay, một cửa hàng điện lạnh dự định kinh doanh hai loại máy điều hòa: điều hòa hai chiều và điều hòa một chiều với số vốn ban đầu không vượt quá 1,2 tỉ đồng. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá 100 máy cả hai loại. Cần đầu tư kinh doanh $x$ loại máy hai chiều và $y$ loại máy một chiều thì lợi nhuận thu được là lớn nhất. Tính $x+y$?

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

Giá trị của biểu thức $A=\tan 1^{\circ }\tan 2^{\circ }\tan 3^{\circ }...\tan 88^{\circ }\tan 89^{\circ }$ là

Tổng ${\sin }^2{2}^{\circ }+{\sin }^2{4}^{\circ }+{\sin }^2{6}^{\circ }+...+{\sin }^{2}84^{\circ }+{\sin }^{2}86^{\circ }+{\sin }^{2}88^{\circ }$ bằng

Cho $\alpha$ và $\beta$ là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai?

Cho góc $\alpha$ tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hai góc nhọn $\alpha$ và $\beta$ $(\alpha <\beta )$. Khẳng định nào sau đây là sai?

Cho biết $\tan \alpha =\frac{1}{2}$. Tính $\cot \alpha$.

Cho $△ABC$ có $b=6,c=8,\hat{A}=60^0$. Độ dài cạnh $a$ là:

Cho tam giác $ABC$ có $AB=4cm,BC=7cm,AC=9cm$. Giá trị $\cos B$ là:

Cho tam giác $ABC$. Tìm công thức sai:

Tam giác $ABC$ có $\hat{B}=30^{\circ }$, $\hat{C}=45^{\circ }$ và $AB=5$. Hỏi cạnh $AC$ bằng bao nhiêu?

Gia đình bác An sở hữu một mảnh đất hình tam giác. Chiều dài của hàng rào $MN$ là $150m$, chiều dài của hàng rào $MN$ là $230m$. Góc giữa hai hàng rào $MN$ và $MN$ là $110^{\circ }$. Chiều dài hàng rào $NP$ là.

Cho biểu thức $\sin \alpha =\frac{2}{3}$, $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Nhà bác An có một khoảng đất trống phía trước nhà là nửa đường tròn bán kính $R=1m$, bác muốn trồng hoa trên diện tích là hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn sao cho một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của đường tròn. Giả sử khoảng đất được mô phỏng như hình vẽ. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm $A$ và $B$ mà ta không thể đi trực tiếp từ $A$ đến $B$ (hai địa điểm nằm ở hai bên bờ một hồ nước, một đầm lầy) người ta tiến hành như sau: Chọn một địa điểm $C$ sao cho ta đo được các khoảng cách $AC$, $CB$ và góc $\widehat{ACB}$. Sau khi đo ta nhận được: $AC=1km,CB=800m$ và $\widehat{ACB}=105^{\circ }$. Tính khoảng cách $AB$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị mét).

Một cái cây đứng thẳng bị gió mạnh làm gãy không hoàn toàn (hai đoạn thân bị gãy vẫn dính liền nhau như hình vẽ). Một người muốn đo chiều cao của cây trước khi gãy, người ấy đo được đoạn thẳng nối từ gốc cây đến ngọn cây (đã ngã) là $AB=6m$, hai góc $\widehat{CAB}=76^{\circ },\widehat{CBA}=35^{\circ }$. Tính chiều dài của cây trước khi bị gãy (giả sử sự biến dạng lúc gãy không ảnh hưởng đến tổng độ dài của cây, đơn vị mét)? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)

Xạ phẫu Gamma Knife là phương pháp điều trị u não (không cần mở hộp sọ) bằng cách sử dụng bức xạ gamma tập trung, hội tụ chính xác vào tổn thương, không làm hại mô lành. Nếu khối u của bệnh nhân cách mặt da 6,3 cm, bác sĩ đặt nguồn tia cách khối u 9 cm để tránh làm tổn thương mô thì góc tạo bởi chùm tia với mặt da là $\beta$. Tính giá trị của biểu thức $P=\tan \beta$ (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)

Một vận động viên bắn súng nằm trên mặt đất để găm bắn các mục tiêu khác nhau trên một bức tường thẳng đứng. Vận động viên bắn trúng một mục tiêu cách mặt đất $25(m)$ tại một góc ngắm $\alpha$ (góc hợp bởi phương ngắm với phương ngang). Nếu giảm góc ngắm đi một nửa thì vận động viên bắn trúng mục tiêu cách mặt đất $10(m)$ thì khoảng cách từ vận động viên đến bức tường bằng $10\sqrt{5}(m)$. Tính giá trị của $P=3{\cos }^2\frac{\alpha }{2}$.

Guồng nước (cọn nước) được biết đến là một công cụ đặc lực trong sản xuất nông nghiệp của bà con dân tộc Thái ở nước ta. Chiếc guồng được cấu tạo giống như bánh xe đạp, có đường kính 10 m. Tâm quay ở độ cao 6,5 m. Nan hoa làm bằng loại tre giả, có sức chịu đựng trong môi trường ẩm ướt. Vành guồng rộng 50cm, được đặt các phên nứa để cạn nước, tạo lực đẩy guồng quay và có gắn các ống buông (lũng) buộc chếch khoảng 30 độ để múc đầy nước khi chìm xuống. Lực đẩy của nước khiến guồng quay liên tục, đến tầm cao nhất đỉnh, thì các ống buông bắt đầu đổ nước vào các máng dài. Biết thời gian cọn nước thực hiện 1 vòng quay là 3 phút. Máng nước cao 11 m. Nếu một ống buông đang ở vị trí thấp nhất thì thời gian nó di chuyển đến vị trí máng nước là

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh $\frac{{\sin }^3\frac{B}{2}}{\cos \left(\frac{A+C}{2}\right)}+\frac{{\cos }^3\frac{B}{2}}{\sin \left(\frac{A+C}{2}\right)}-\frac{\cos (A+C)}{\sin B}.\tan B=2$

Từ một địa điểm $O$ cố định của một vùng đất cù lao (các mặt của vùng đất đều giáp với các con sông), người ta cần chọn một địa điểm $T$ trên vùng cù lao sao cho $OT=60(km)$ để xây dựng các con đường cao tốc (cầu vượt cao tốc) nối từ hai địa điểm $X$ và $Y$ của hai tỉnh thành lân cận đến $T$. Cho biết $OX=120(km)$, $OY=150(km)$, $\widehat{XOY}=120^{\circ }$. Chi phí hoàn thành $1(km)$ đoạn đường đi từ $T$ đến $X$ là 100000 USD; chi phí hoàn thành $1(km)$ đoạn đường đi từ $T$ đến $Y$ là 200000 USD. Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành hai con đường trên (đơn vị triệu USD)?

Cho $\tan \alpha -\cot \alpha =3$. Tính giá trị của biểu thức sau: $A={\tan }^2\alpha +{\cot }^2\alpha$.

Tam giác $ABC$ có $a=8,c=3,\hat{B}=60^0$. Độ dài cạnh $b$ bằng bao nhiêu?

Cho tam giác $ABC$ có góc $\widehat{BAC}=60^{\circ }$ và cạnh $BC=\sqrt{3}$. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Trong mặt phẳng, cho tam giác $ABC$ có $AC=4$ cm, góc $\hat{A}=60^{\circ }$, $\hat{B}=45^{\circ }$. Độ dài cạnh $BC$ là

Cho $\Delta ABC$ có $a=6,b=8,c=10$. Diện tích $S$ của tam giác trên là:

Cho $\Delta ABC$ có $a=4,c=5,B=150^{\circ }$. Diện tích của tam giác là: