Thành phố Hải Dương dự định xây dựng một trạm nước sạch để cung cấp cho hai khu dân cư $A$ và $B$. Trạm nước sạch đặt tại vị trí $C$ trên bờ sông. Biết $AB=3\sqrt{17}km$, khoảng cách từ $A$ và $B$ đến bờ sông lần lượt là $AM=3km$, $BN=6km$ (hình vẽ). Gọi $T$ là tổng độ dài đường ống từ trạm nước đến $A$ và $B$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $T$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với bờ sông là trục hoành, $M(0;0)$, $A(0;3)$. Vì $AB=3\sqrt{17}$ nên $A{B}^2=153$, và $BN=6$ nên chênh lệch cao độ giữa $A$ và $B$ là $6-3=3$. Suy ra khoảng cách ngang $MN=\sqrt{A{B}^2-3^2}=\sqrt{153-9}=\sqrt{144}=12$ km, tức $B(12;6)$, $N(12;0)$ (phù hợp hình vẽ: $A$ và $B$ cùng phía bờ sông, $B$ xa hơn).

Lấy $A^{\prime }$ đối xứng với $A$ qua bờ sông: $A^{\prime }(0;-3)$. Với mọi $C$ trên bờ sông, $CA=C{A}^{\prime }$, do đó $T=CA+CB=C{A}^{\prime }+CB\ge A^{\prime }B$ (bất đẳng thức tam giác), dấu bằng khi $A^{\prime },C,B$ thẳng hàng.

Vậy $T_{\min }=A^{\prime }B=\sqrt{12^2+(6-(-3){)}^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$ km.

Kiểm tra: giao điểm của $A^{\prime }B$ với trục hoành có hoành độ $x=\frac{12\cdot 3}{9}=4$, nằm giữa $0$ và $12$, nên điểm $C$ tồn tại trên bờ sông và giá trị nhỏ nhất đạt được: $T_{\min }=15$ km.