Cho tam giác $ABC$, biết $b=7,c=5,\cos A=\frac{3}{5}$. Biết rằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ có dạng $r=a-\sqrt{b}$, trong đó $a,b\in \mathbb{Z}$. Tính giá trị biểu thức $a-2b$

Cho tam giác $ABC$ có $\hat{A}=60^{\circ }$, $\hat{B}=45^{\circ }$ và $BC=10$. Độ dài cạnh $AC$ bằng

Cho $\widehat{xOy}=120^{\circ }$. Hai điểm $A$, $B$ lần lượt di động trên hai tia $Ox$, $Oy$ sao cho độ dài đoạn $AB$ luôn bằng $60m$. Tam giác $OAB$ có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu (đơn vị $m^2$, làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong đợt ngoại khóa môn Giáo dục quốc phòng, một tiểu đội được lệnh di chuyển từ vị trí đóng quân $A$ đến địa điểm $B$ cách $A$ một khoảng là $12km$ để hành quân. Sau khi đến $B$ gặp phải chướng ngại vật, nên tiểu đội đã rẽ phải một góc $50^{\circ }$ so với hướng di chuyển ban đầu (như hình minh họa bên) và đi thêm $3km$ nữa để đến vị trí $C$. Khoảng cách từ vị trí $C$ đến vị trí đóng quân $A$ xấp xỉ bằng

Trong hội trại Trăng rằm của trường TH-THCS-THPT Lê Thành Tông, bạn Danh lớp 10E đã thiết kế một logo cho tấm poster lớn tại gian trại của lớp. Logo là hình ngôi sao 5 cánh nội tiếp trong một đường tròn có tâm $A$. Biết rằng ngôi sao được tạo từ các tam giác bằng nhau, một trong các tam giác đó là tam giác $ABC$ có cạnh $AB=20cm$ và $BC=30cm$ (xem hình bên). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Một cột tiện ích cao 10 mét tạo ra một cái bóng dài 17 mét trực tiếp trên một sườn dốc. Biết góc giữa tia nắng mặt trời và mặt đất được cho là $42^{\circ }$ (xem hình bên dưới). Với ${\theta }^0$ là góc nghiêng của sườn dốc, giá trị của $\theta$ bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). (Theo Ron Larson, Trigonometry, 10th Edition, 2018).

(0,5 điểm) Bạn Thành có một tấm bìa mỏng hình tam giác $ABC$ có kích thước $AB=BC=16(cm)$ và $AC=12(cm)$. Từ tấm bìa trên bạn Thành muốn cắt bỏ các phần dư thừa xung quanh để tạo ra một hình tròn. Hình tròn bạn Thành thu được có bán kính lớn nhất bằng bao nhiêu $cm$? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)