Cho $\Delta ABC$ đều có cạnh bằng 3. Điểm $M$ thỏa mãn $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2=15$, khi đó tập hợp điểm $M$ thuộc đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ đều cạnh 3. Với mọi điểm $M$ ta có đồng nhất thức:
$$M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2=3M{G}^2+G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2.$$
Vì $\Delta ABC$ đều cạnh 3 nên $GA=GB=GC=\frac{2}{3}A{M}_{\text{đường cao}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$, suy ra $G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2=3\cdot 3=9$.
Do đó:
$$3M{G}^2+9=15\Rightarrow M{G}^2=2\Rightarrow MG=\sqrt{2}.$$
Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $G$ bán kính $R=\sqrt{2}\approx 1,41$.