Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$, có cạnh $a$. Biết $M$ là trung điểm của $AB$, $G$ là trọng tâm tam giác $ADM$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ $A(0,0)$, $B(a,0)$, $D(0,a)$, $C(a,a)$, $O(a/2,a/2)$, $M(a/2,0)$.
a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}\cdot (-\overrightarrow{AC})=-a^2\ne a^2$ → Sai.
b) $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=\frac{1}{2}{a}^2\ne \frac{a^2}{3}$ → Sai.
c) $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}\cdot (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=a^2$; $\overrightarrow{OM}=(0,-a/2)$, $\overrightarrow{AC}=(a,a)$ nên $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{AC}=-\frac{a^2}{2}$. Tổng bằng $\frac{a^2}{2}$ → Đúng.
d) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}=(a,a)$; $\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}=(-a,a)+(0,a)=(-a,2a)$. Tích vô hướng $=-a^2+2a^2=a^2$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}\cdot (-\overrightarrow{AC})=-a^2\ne a^2$, sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=\frac{a^2}{2}\ne \frac{a^2}{3}$, sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BD}=a^2$ và $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{AC}=-\frac{a^2}{2}$, tổng bằng $\frac{a^2}{2}$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot (\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{AC}\cdot (-a,2a)=a^2$, đúng.