Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tổng hiệu và tích vectơ với số (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Hai véc-tơ $x\vec{a}+y\vec{b}$ và $x^{\prime }\vec{a}+y^{\prime }\vec{b}$ cùng phương khi $\frac{x}{x^{\prime }}=\frac{y}{y^{\prime }}$ (vì $\vec{a},\vec{b}$ không cùng phương). A: $\frac{-1/2}{2}=-\frac{1}{4}\ne \frac{-1}{1}=-1$, khác phương. B: $\frac{-3}{-1/2}=6$ nhưng $\frac{1}{6}\ne 6$, khác phương. C: $\frac{1/2}{-1/2}=-1$ và $\frac{-1}{1}=-1$, thực tế $\frac{1}{2}\vec{a}-\vec{b}=-\left(-\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{b}\right)$, nên cùng phương. D: $\frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}\ne \frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$, khác phương. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Lực cản ngược hướng lực đẩy nên cùng phương với lực đẩy (a sai). Hai lực cản F1, F2 cùng ngược hướng lực đẩy nên cùng hướng nhau, tồn tại k>0 với F1=kF2 (b đúng). Theo hình, lực nâng và trọng lực đều nằm trên đường thẳng đứng (cùng phương, ngược chiều) (c đúng). Độ lớn tỉ lệ bình phương vận tốc: F1/F2=(900/920)^2=(45/46)^2=2025/2116 (d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
Lực cản ngược hướng với lực đẩy nên hai vectơ cùng phương (ngược chiều).
b) (AI giải đề cho tôi)
F1, F2 cùng ngược hướng lực đẩy nên cùng hướng nhau, do đó tồn tại k>0 sao cho F1=kF2.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo hình, lực nâng hướng thẳng đứng lên và trọng lực hướng thẳng đứng xuống, cùng phương ngược chiều.
d) (AI giải đề cho tôi)
F tỉ lệ v^2 nên k=F1/F2=(900/920)^2=(45/46)^2=2025/2116.

(AI giải đề cho tôi)
Vật đứng yên nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}$, do đó $\overrightarrow{F_3}=-(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})$. Vì $\overrightarrow{F_1}\perp \overrightarrow{F_2}$ và $|\overrightarrow{F_1}|=|\overrightarrow{F_2}|=100\sqrt{2}$ N nên $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|=\sqrt{(100\sqrt{2}{)}^2+(100\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{20000+20000}=200$ N. Vậy cường độ $\overrightarrow{F_3}$ bằng $200$ N, khớp với đáp án nguồn (đề 108, câu 6 Phần III: 200).

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm, với mọi ba điểm $A,B,C$ ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, suy ra $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|$ luôn đúng. Các phương án A, B, C chỉ đúng trong trường hợp đặc biệt (ví dụ $AB=BC$, tam giác đều, $B$ trùng $C$...), không đúng với ba điểm tùy ý.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $N$ nằm giữa $M$ và $P$ trên cùng một đường thẳng, ta xét hướng từng cặp: A) $\overrightarrow{NM}$ hướng về phía $M$, $\overrightarrow{NP}$ hướng về phía $P$ → ngược hướng. B) $\overrightarrow{MP}$ hướng từ $M$ đến $P$, $\overrightarrow{PN}$ hướng từ $P$ về $N$ → ngược hướng. C) $\overrightarrow{MN}$ hướng về $N$, $\overrightarrow{PN}$ hướng về $N$ nhưng xuất phát từ $P$ đi ngược qua $N$... xét trên trục: đặt $M=0,N=1,P=2$; $\overrightarrow{MN}=(+1)$, $\overrightarrow{PN}=(1-2=-1)$ → ngược hướng. D) $\overrightarrow{MN}=(+1)$, $\overrightarrow{MP}=(+2)$ → cùng hướng (cùng dương). Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}$ là vectơ đối của $\vec{b}$ nên $\vec{a}=-\vec{b}$: hai vectơ cùng độ dài, cùng phương, ngược hướng. Điểm đầu của hai vectơ không nhất thiết trùng nhau (vectơ đối được định nghĩa qua độ dài và hướng, không phụ thuộc vị trí). Do đó khẳng định C là SAI, khớp với đáp án nguồn (mã đề 173, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Quy tắc hình chữ nhật (quy tắc parallelogram): $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$, nên A đúng. B sai vì $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}|=AC=\sqrt{(4a{)}^2+(3a{)}^2}=5a\ne 7a$. C sai vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (cùng hướng), còn $\overrightarrow{CD}$ ngược hướng. D sai vì $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ là hai đường chéo khác hướng nhau. Khớp đáp án nguồn (mã 102: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ ta có $AD\parallel BC$, cùng hướng và $AD=BC$, do đó $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ (đáp án C, được in đậm/màu đỏ trong đề, trang 2/3 - Mã đề 101). Các đáp án khác sai: $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ là hai đường chéo không song song nên A sai; $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$ nên B sai; $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ là hai cạnh kề không song song nên D sai.

(AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}=(2;-4),\vec{b}=(-5;3)$. Ta có $2\vec{a}=(4;-8)$, nên $\vec{u}=2\vec{a}-\vec{b}=(4-(-5);-8-3)=(9;-11)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tính $2\vec{a}=(4;-8)$, sau đó $\vec{u}=2\vec{a}-\vec{b}=(4-(-5);-8-3)=(9;-11)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$ (E, F, G, H lần lượt nằm trên A, B, C, D), ta có $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$ với các cạnh. Xét $\overrightarrow{HG}$: do $HG\parallel AB$ và cùng chiều (từ H đến G cùng hướng từ A đến B) nên $\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{AB}$. Các đáp án khác: $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$ không xác định (không có điểm B'), $\overrightarrow{FE}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$ (bằng $-\overrightarrow{AB}$), $\overrightarrow{CD}$ cũng ngược hướng (bằng $-\overrightarrow{AB}$). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vật chuyển động ngược chiều nhau (vật 1 từ C đến D, vật 2 từ D đến C) nên hai vectơ vận tốc $\overrightarrow{v_1}$ và $\overrightarrow{v_2}$ ngược hướng, do đó $\overrightarrow{v_1}=k\overrightarrow{v_2}$ với $k<0$. Về độ lớn: $|k|=\frac{|\overrightarrow{v_1}|}{|\overrightarrow{v_2}|}=\frac{12}{5}=2,4$. Vậy $k=-\frac{12}{5}=-2,4$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, hai véc tơ có cùng độ dài (độ lớn) và ngược hướng được gọi là hai véc tơ đối nhau. Ví dụ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$ là hai véc tơ đối nhau. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, hai vectơ $\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{CD}$ có cùng điểm gốc $C$. Theo quy tắc hình bình hành, tổng $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}$ bằng vectơ đi từ $C$ theo đường chéo của hình bình hành, tức là $\overrightarrow{CA}$ (vì $A$ là đỉnh đối diện với $C$). Vậy $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm của $BC$ nên $I$ nằm giữa $B$ và $C$ với $IB=IC$, do đó $\overrightarrow{BI}$ và $\overrightarrow{IC}$ cùng hướng và có độ dài bằng nhau: $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IC}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$, ba điểm $B$, $O$, $E$ thẳng hàng nên vectơ $\overrightarrow{OB}$ có phương của đường thẳng $BE$. Trong lục giác đều, cạnh $FA\parallel BE$ và cạnh $CD\parallel BE$, do đó các đường thẳng đi qua các đỉnh của lục giác và cùng phương với $\overrightarrow{OB}$ là: $BE$, $FA$, $CD$. Các vectơ khác $\vec{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác, cùng phương với $\overrightarrow{OB}$ là: $\overrightarrow{BE},\overrightarrow{EB},\overrightarrow{FA},\overrightarrow{AF},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DC}$ — tổng cộng 6 vectơ. Vậy chọn đáp án B.

Gọi B(x;y) suy ra $\overrightarrow{AB}=(x-4;y-8)$, $\overrightarrow{AC}=(-15;5)$

- Theo đề ta có: $\overrightarrow{AB}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AC}\iff \{\begin{array}{l}x=-8\\ y=12\end{array}\to B(-8;12)$

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ cùng phương có thể ngược hướng (ví dụ $\vec{a}$ và $\vec{b}=-2\vec{a}$ cùng phương nhưng ngược hướng), nên mệnh đề A sai. Mệnh đề B đúng vì hai vectơ bằng nhau thì cùng hướng nên cùng phương. Mệnh đề C đúng vì hai vectơ cùng phương thì giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Mệnh đề D đúng vì cùng hướng kéo theo cùng phương. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CD}$ và $-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DA}$. Do đó $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}=\vec{0}$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0105, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$. Vì phép cộng vectơ có tính giao hoán, $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}$, nên đáp án B đúng. Kiểm tra các phương án khác: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}\ne \overrightarrow{AB}$ (A sai); $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}$ không rút gọn được thành $\overrightarrow{AB}$ (C, D sai).