Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Lập phương trình đường tròn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $I(2;-4)$, bán kính $R=5$ có phương trình $(x-2{)}^2+(y+4{)}^2=5^2=25$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm $I$ nằm trên đường thẳng $y=-x$ nên có dạng $I(a;-a)$. Đường tròn $(S)$ tiếp xúc với cả hai trục tọa độ nên khoảng cách từ $I$ đến mỗi trục bằng bán kính $R=3$: $d(I,Ox)=|a|=3$ và $d(I,Oy)=|-a|=3$, suy ra $a=\pm 3$.

- Với $a=3$: $I(3;-3)$, phương trình $(S)$: $(x-3{)}^2+(y+3{)}^2=9$.
- Với $a=-3$: $I(-3;3)$, phương trình $(S)$: $(x+3{)}^2+(y-3{)}^2=9$.

Kiểm tra: cả hai tâm đều cách mỗi trục đúng $3$ đơn vị và nằm trên $y=-x$, thỏa mọi giả thiết. Vậy có hai đường tròn thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm $I$ nằm trên $d:2x-y+7=0$ và cách đều $A(1;3)$, $B(3;1)$ nên $I$ thuộc trung trực của $AB$. Trung điểm $AB$ là $(2;2)$, $AB$ có hệ số góc $-1$ nên trung trực là $y=x$. Thay vào $d$: $2x-x+7=0\Rightarrow x=-7$, vậy $I(-7;-7)$. Bán kính $R^2=I{A}^2=(-7-1{)}^2+(-7-3{)}^2=64+100=164$. Phương trình: $(x+7{)}^2+(y+7{)}^2=164$, khớp đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm đường tròn là giao hai đường trung trực. AC nằm trên trục hoành với trung điểm (-1;0) nên trung trực là x = -1. Trung trực của AB: trung điểm (2;3), hệ số góc AB = (6-0)/(1-3) = -3 nên trung trực có hệ số góc 1/3: y - 3 = (1/3)(x - 2). Tại x = -1 ta được y = 2, vậy tâm I(-1;2). R^2 = IA^2 = (3+1)^2 + (0-2)^2 = 16 + 4 = 20.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=9$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ với $a=-1$, $b=2$, $R^2=9\Rightarrow R=3$. Vậy tâm $I(-1;2)$, bán kính $R=3$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=9$ có dạng chuẩn $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ với tâm $I(a;b)$, bán kính $R=\sqrt{9}=3$. So sánh: $a=2$, $-b=3\Rightarrow b=-3$, nên $I(2;-3)$ và $R=3$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $I(a;b)$ bán kính $R$ có phương trình $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$. Với $I(-2;3)$, $R=3$ ta được $(x+2{)}^2+(y-3{)}^2=9$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2-2x-4y=0$ viết lại thành $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=5$ nên tâm $I(1;2)$, bán kính $R=\sqrt{5}$. a) Đúng. b) Thay $I(1;2)$ vào $\Delta$: $1-2\cdot 2+3=0$ nên $\Delta$ đi qua tâm → khẳng định sai. c) Thay $A(2;0)$: $4+0-4-0=0$ nên $A\in (C)$ → đúng. d) $M(0;4)$ thuộc $(C)$ vì $0+16-0-16=0$; $\overrightarrow{IM}=(-1;2)$, tiếp tuyến tại $M$: $-1(x-0)+2(y-4)=0\iff x-2y+8=0$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=5$ nên tâm $I(1;2)$, bán kính $\sqrt{5}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $I(1;2)$ vào $\Delta$: $1-2\cdot 2+3=0$, nên $\Delta$ đi qua tâm.
c) (AI giải đề cho tôi)
$2^2+0^2-2\cdot 2-4\cdot 0=0$ nên $A\in (C)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M(0;4)\in (C)$; $\overrightarrow{IM}=(-1;2)$, tiếp tuyến $-x+2(y-4)=0\iff x-2y+8=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình đường tròn tâm $I(1;2)$, bán kính $R=5$ là $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=25$. Khai triển: $x^2-2x+1+y^2-4y+4=25\iff x^2+y^2-2x-4y-20=0$. Đây chính là phương trình ở đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=IM=\sqrt{(-1-3{)}^2+(1+2{)}^2}=\sqrt{16+9}=5$, nên $R^2=25$. Phương trình đường tròn tâm $I(3;-2)$ là $(x-3{)}^2+(y+2{)}^2=25$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $(C):x^2+y^2-2x+4y+1=0$. Tâm $I$ có tọa độ $I(1;-2)$ vì $-2a=-2\Rightarrow a=1$, $2b=4\Rightarrow b=-2$. Bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{1+4-1}=\sqrt{4}=2$. Vậy $I(1;-2)$, $R=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=9$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ với tâm $I(-a_0;b_0)$ suy ra $x+1=x-(-1)$, $y-2=y-2$, nên tâm $I(-1;2)$ và $R^2=9\Rightarrow R=3$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1111, Câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình đường tròn dạng tổng quát phải có hệ số của $x^2$ và $y^2$ bằng nhau và khác 0. Loại A, B vì hệ số của $x^2$ và $y^2$ khác nhau. Xét C: $x^2+y^2-2x-8y+18=0\iff (x-1{)}^2+(y-4{)}^2=-1$, bán kính bình phương âm nên không phải đường tròn. Xét D: $2x^2+2y^2-4x+6y-12=0\iff x^2+y^2-2x+3y-6=0\iff (x-1{)}^2+(y+\frac{3}{2}{)}^2=\frac{37}{4}>0$, đây là phương trình đường tròn tâm $(1;-\frac{3}{2})$ bán kính $\frac{\sqrt{37}}{2}$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường tròn $(C):x^2+y^2+4x+2y-4=0$ có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $-2a=4,-2b=2,c=-4$, suyra tâm $I(-2;-1)$, bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{4+1+4}=3$.

b) Đường thẳng qua $I(-2;-1)$ và $O(0;0)$ có VTCP $\vec{u}=(2;1)$ (hoặc $(-2;-1)$), phương trình: $1(x-0)-2(y-0)=0$, tức $x-2y=0$.

c) Vì $O$ nằm trên Δ, viết Δ: $kx-y=0$ (không xét dạng $x=0$ vì khi đó d(I,Δ)=2, cho $AB=2\sqrt{9-4}=2\sqrt{5}\ne 4$). Khoảng cách từ $I(-2;-1)$ đến Δ: $d=\frac{|-2k+1|}{\sqrt{k^2+1}}$. Ta có $AB=2\sqrt{R^2-d^2}=4\Rightarrow R^2-d^2=4\Rightarrow d^2=5$. Suy ra $\frac{(2k-1{)}^2}{k^2+1}=5\iff 4k^2-4k+1=5k^2+5\iff k^2+4k+4=0\iff (k+2{)}^2=0\iff k=-2$. Vậy $\Delta :-2x-y=0$, tức $2x+y=0$. Kiểm tra: $d(I,\Delta )=\frac{|-4-1|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$, $AB=2\sqrt{9-5}=4$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trung điểm của AB: I((2+0)/2;(-3-1)/2)=(1;-2) → đúng.
b) AB=√(4+4)=2√2 nên R=√2, R²=2. Đường tròn: (x-1)²+(y+2)²=2 → đúng.
c) Bán kính = d(A,d)=|2-2(-3)+4|/√5=12/√5=12√5/5 ≈ 5,37 ≠ 2√5 → sai.
d) d(J,d)=|5-4+4|/√5=√5. R²=d²+(MN/2)²=5+4=9 → R=3 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
I là trung điểm AB: I(1;-2).
b) (AI giải đề cho tôi)
R=AB/2=√2 nên (x-1)²+(y+2)²=2.
c) (AI giải đề cho tôi)
R=d(A,d)=|2+6+4|/√5=12/√5≠2√5.
d) (AI giải đề cho tôi)
d(J,d)=√5, R²=5+2²=9 nên R=3.

(AI giải đề cho tôi)
Trạm phát sóng: đường tròn tâm $I(-2;1)$, bán kính $R=3$ km.
a) Phương trình đường tròn: $(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=9$. Đúng.
b) Đường đi qua $M(-4;6)$ và $N(3;-1)$ có VTCP $\overrightarrow{MN}=(7;-7)\sim (1;-1)$. Phương trình $x=3-t,y=-1+t$ đi qua $N(3;-1)$ với VTCP $(-1;1)$ cùng phương, nên đúng. Đúng.
c) Thay vào đường tròn: $(5-t{)}^2+(t-2{)}^2=9\iff t^2-7t+10=0\iff t=2$ hoặc $t=5$. Anh Khoa xuất phát từ $M$ ứng với $t=7$ (vì $x=3-7=-4,y=-1+7=6$) và di chuyển về $N$ ($t$ giảm), nên vị trí đầu tiên vào vùng phủ sóng là $t=5$: điểm $(3-5;-1+5)=(-2;4)$. Đúng.
d) Đường thẳng $MN$: $x+y-2=0$. Khoảng cách từ $I$ đến $MN$: $d=\frac{|-2+1-2|}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx 2,12$ km $<3$ km. Vậy khoảng cách ngắn nhất là $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ km, không phải $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ km. Sai.
Đối chiếu đáp án mã đề 102: DDDS — khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $I(-2;1)$ bán kính $3$: $(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=9$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $M(-4;6),N(3;-1)$ có VTCP $(1;-1)$; phương trình $x=3-t,y=-1+t$ đi qua $N$ và có VTCP $(-1;1)$ cùng phương, nên mô tả đúng đường đi.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay phương trình tham số vào đường tròn được $t=2$ hoặc $t=5$; xuất phát từ $M$ ($t=7$) di chuyển về $N$, vị trí đầu tiên là $t=5$ tức $(-2;4)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng MN: $x+y-2=0$; $d(I,MN)=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx 2,12$ km, không phải $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình đường tròn dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với điều kiện $a^2+b^2-c>0$. A có $x^2-y^2$ (hệ số của $y^2$ khác 1) nên không phải. B có $2y^2$ nên không phải. D có số hạng $6xy$ nên không phải. Xét C: $x^2+y^2+6x-4y+2=0\iff (x+3{)}^2+(y-2{)}^2=11>0$, đây là đường tròn tâm $(-3;2)$ bán kính $\sqrt{11}$. Vậy chọn C, khớp với đáp án nguồn (đề 1001, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Cổng bán nguyệt rộng 6,8 m nên bán kính $R=3,4$ m, tâm tại trung điểm mặt đường. Chọn hệ trục với gốc tại tâm, vòm cổng: $x^2+y^2=3,4^2$ ($y\ge 0$). Xe tải rộng 2,4 m đi đúng làn quy định (làn sát tâm đường), đặt sát tâm nên mép ngoài của xe cách tâm $x=2,4$ m. Chiều cao tối đa là tung độ của vòm tại $x=2,4$: $y=\sqrt{3,4^2-2,4^2}=\sqrt{11,56-5,76}=\sqrt{5,8}\approx 2,408$ m. Làm tròn đến hàng phần chục: $2,4$ m. Kết quả trùng với đáp án nguồn (2,4).