Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Lập phương trình đường tròn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tâm $I$ nằm trên $d:2x-y+7=0$ và cách đều $A(1;3)$, $B(3;1)$ nên $I$ thuộc trung trực của $AB$. Trung điểm $AB$ là $(2;2)$, $AB$ có hệ số góc $-1$ nên trung trực là $y=x$. Thay vào $d$: $2x-x+7=0\Rightarrow x=-7$, vậy $I(-7;-7)$. Bán kính $R^2=I{A}^2=(-7-1{)}^2+(-7-3{)}^2=64+100=164$. Phương trình: $(x+7{)}^2+(y+7{)}^2=164$, khớp đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm đường tròn là giao hai đường trung trực. AC nằm trên trục hoành với trung điểm (-1;0) nên trung trực là x = -1. Trung trực của AB: trung điểm (2;3), hệ số góc AB = (6-0)/(1-3) = -3 nên trung trực có hệ số góc 1/3: y - 3 = (1/3)(x - 2). Tại x = -1 ta được y = 2, vậy tâm I(-1;2). R^2 = IA^2 = (3+1)^2 + (0-2)^2 = 16 + 4 = 20.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường tròn $(C):x^2+y^2+4x+2y-4=0$ có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $-2a=4,-2b=2,c=-4$, suyra tâm $I(-2;-1)$, bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{4+1+4}=3$.

b) Đường thẳng qua $I(-2;-1)$ và $O(0;0)$ có VTCP $\vec{u}=(2;1)$ (hoặc $(-2;-1)$), phương trình: $1(x-0)-2(y-0)=0$, tức $x-2y=0$.

c) Vì $O$ nằm trên Δ, viết Δ: $kx-y=0$ (không xét dạng $x=0$ vì khi đó d(I,Δ)=2, cho $AB=2\sqrt{9-4}=2\sqrt{5}\ne 4$). Khoảng cách từ $I(-2;-1)$ đến Δ: $d=\frac{|-2k+1|}{\sqrt{k^2+1}}$. Ta có $AB=2\sqrt{R^2-d^2}=4\Rightarrow R^2-d^2=4\Rightarrow d^2=5$. Suy ra $\frac{(2k-1{)}^2}{k^2+1}=5\iff 4k^2-4k+1=5k^2+5\iff k^2+4k+4=0\iff (k+2{)}^2=0\iff k=-2$. Vậy $\Delta :-2x-y=0$, tức $2x+y=0$. Kiểm tra: $d(I,\Delta )=\frac{|-4-1|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$, $AB=2\sqrt{9-5}=4$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Trạm phát sóng: đường tròn tâm $I(-2;1)$, bán kính $R=3$ km.
a) Phương trình đường tròn: $(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=9$. Đúng.
b) Đường đi qua $M(-4;6)$ và $N(3;-1)$ có VTCP $\overrightarrow{MN}=(7;-7)\sim (1;-1)$. Phương trình $x=3-t,y=-1+t$ đi qua $N(3;-1)$ với VTCP $(-1;1)$ cùng phương, nên đúng. Đúng.
c) Thay vào đường tròn: $(5-t{)}^2+(t-2{)}^2=9\iff t^2-7t+10=0\iff t=2$ hoặc $t=5$. Anh Khoa xuất phát từ $M$ ứng với $t=7$ (vì $x=3-7=-4,y=-1+7=6$) và di chuyển về $N$ ($t$ giảm), nên vị trí đầu tiên vào vùng phủ sóng là $t=5$: điểm $(3-5;-1+5)=(-2;4)$. Đúng.
d) Đường thẳng $MN$: $x+y-2=0$. Khoảng cách từ $I$ đến $MN$: $d=\frac{|-2+1-2|}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx 2,12$ km $<3$ km. Vậy khoảng cách ngắn nhất là $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ km, không phải $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ km. Sai.
Đối chiếu đáp án mã đề 102: DDDS — khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $I(-2;1)$ bán kính $3$: $(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=9$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $M(-4;6),N(3;-1)$ có VTCP $(1;-1)$; phương trình $x=3-t,y=-1+t$ đi qua $N$ và có VTCP $(-1;1)$ cùng phương, nên mô tả đúng đường đi.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay phương trình tham số vào đường tròn được $t=2$ hoặc $t=5$; xuất phát từ $M$ ($t=7$) di chuyển về $N$, vị trí đầu tiên là $t=5$ tức $(-2;4)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng MN: $x+y-2=0$; $d(I,MN)=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx 2,12$ km, không phải $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Cổng bán nguyệt rộng 6,8 m nên bán kính $R=3,4$ m, tâm tại trung điểm mặt đường. Chọn hệ trục với gốc tại tâm, vòm cổng: $x^2+y^2=3,4^2$ ($y\ge 0$). Xe tải rộng 2,4 m đi đúng làn quy định (làn sát tâm đường), đặt sát tâm nên mép ngoài của xe cách tâm $x=2,4$ m. Chiều cao tối đa là tung độ của vòm tại $x=2,4$: $y=\sqrt{3,4^2-2,4^2}=\sqrt{11,56-5,76}=\sqrt{5,8}\approx 2,408$ m. Làm tròn đến hàng phần chục: $2,4$ m. Kết quả trùng với đáp án nguồn (2,4).