Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Định lý cosin trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Định lý cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\Rightarrow \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$. Đáp án B viết $\cos A=\frac{b^2-c^2-a^2}{2bc}$ là sai (dấu của $c^2$ sai). Các mệnh đề A, C, D đều đúng theo định lý sin, định lý cosin và công thức diện tích.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A{B}^2=25=B{C}^2+A{C}^2=9+16$, theo định lí Pythagoras đảo, tam giác vuông tại C với cạnh huyền $AB=5$. Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6c{m}^2$, nên ý b sai. $\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$ (cạnh kề trên cạnh huyền), ý c đúng. Chu vi $=3+4+5=12cm$, ý d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$A{B}^2=25=3^2+4^2=B{C}^2+A{C}^2$ nên theo Pythagoras đảo tam giác vuông tại C.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6c{m}^2$, không phải $12c{m}^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chu vi $=3+4+5=12cm$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{36+4-32}{2\cdot 6\cdot 2}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$. Xét tam giác $ABM$ có $AB=c=2$, $BM=3$, góc $B$ chung: $A{M}^2=A{B}^2+B{M}^2-2\cdot AB\cdot BM\cdot \cos B=4+9-2\cdot 2\cdot 3\cdot \frac{1}{3}=13-4=9$. Vậy $AM=3$. Đáp án C (lưu ý $\sqrt{9}=3$ nên A cũng bằng 3, nhưng dạng chuẩn tối giản là $3$, chọn C).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0,0), B(a,0), D(0,a); vì DC ∥ AB và DC = 2a nên C(2a,a). a) Tam giác ADC vuông tại D (DC ⊥ AD) nên CA² = DA² + DC² = a² + 4a² = 5a²: ĐÚNG. b) |CA| = √(5a²) = a√5 ≠ a√3: SAI. c) Tam giác ABD vuông cân tại A (AB = AD = a) nên góc ABD = 45°; BF là phân giác nên góc ABF = 22,5° ≠ 45°: SAI. d) Theo tính chất đường phân giác: AF/FD = AB/BD = a/(a√2) = 1/√2, nên AF = a/(1+√2) = a(√2−1). Tam giác ABF vuông tại A: BF² = AB² + AF² = a² + a²(√2−1)² = a²(4−2√2), nên |BF| = a√(4−2√2) ≈ 1,08a ≠ 2,08a: SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác ADC vuông tại D nên CA² = DA² + DC² = 5a², đúng theo Pythagoras.
b) (AI giải đề cho tôi)
|CA| = √5·a, không phải a√3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Góc ABD = 45° (tam giác ABD vuông cân tại A), BF phân giác nên góc ABF = 22,5°.
d) (AI giải đề cho tôi)
AF = a(√2−1), BF = a√(4−2√2) ≈ 1,08a, không phải 2,08a.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, suy ra $b^2+c^2-a^2=2bc\cos A$. Đề bài cho $b^2+c^2-a^2=\sqrt{3}bc$, nên $2bc\cos A=\sqrt{3}bc\Rightarrow \cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vì $0^0<A<180^0$ nên $A=30^0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=49+25-2\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=74-42=32\Rightarrow a=4\sqrt{2}$ (đúng). Vì $A\in (0^{\circ };180^{\circ })$ nên $\sin A=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$ (đúng). Diện tích $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=14\ne 7$ (sai). Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{4\sqrt{2}}{2\cdot \frac{4}{5}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\ne \frac{3\sqrt{2}}{2}$ (sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
$a^2=7^2+5^2-2\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=32\Rightarrow a=4\sqrt{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\frac{4}{5}$ vì $0<A<180^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=14\ne 7$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{4\sqrt{2}}{8/5}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\ne \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác ABC: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=2^2+1^2-2\cdot 2\cdot 1\cdot \cos 60^{\circ }=4+1-2=3$. Suy ra $BC=\sqrt{3}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, Câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2AC\cdot BC\cos C$ (cạnh $AB$ đối diện góc $C$). Kiểm tra các phương án: A sai vì nhân với $AB\cos C$; B sai vì cosin góc $A$ không đi với cạnh đối diện $AB$; D sai dấu và góc. Vậy đáp án đúng là C, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1003, Câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{16+36-76}{48}=-\frac{1}{2}\Rightarrow B=120^{\circ }$ (b đúng). Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot \sin 120^{\circ }=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ (c đúng). Đường cao từ $B$: $h_b=\frac{2S}{AC}=\frac{12\sqrt{3}}{2\sqrt{19}}=\frac{6\sqrt{57}}{19}$ (a đúng). Bán kính ngoại tiếp: $R=\frac{AC}{2\sin B}=\frac{2\sqrt{19}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{57}}{3}\ne \frac{3\sqrt{19}}{2}$ (d sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
$h_b=\frac{2S}{AC}=\frac{12\sqrt{3}}{2\sqrt{19}}=\frac{6\sqrt{57}}{19}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos B=\frac{16+36-76}{48}=-\frac{1}{2}\Rightarrow B=120^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot \sin 120^{\circ }=6\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{AC}{2\sin B}=\frac{2\sqrt{57}}{3}\ne \frac{3\sqrt{19}}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Định lí côsin trong tam giác $ABC$ với $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$ cho $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Thật vậy, vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ nên $a^2=|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}{|}^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Do đó mệnh đề đúng là B, khớp với đáp án nguồn (Câu 9, mã đề 1002: B).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 5a: Theo định lí cosin, với $\hat{A}=60^0$ ta có $a^2=b^2+c^2-2bc\cos 60^0=b^2+c^2-bc$.
Tính $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{(b^2+c^2-bc)+c^2-b^2}{2ac}=\frac{c(2c-b)}{2ac}=\frac{2c-b}{2a}$.
Thế vào giả thiết: $\frac{b-c}{a+c}=2\left(\frac{2c-b}{2a}-1\right)=\frac{2c-b-2a}{a}$.
Suy ra $a(b-c)=(a+c)(2c-b-2a)=-ab-2a^2+2c^2-bc$, tức $2ab-ac+2a^2+bc-2c^2=0$.
Thay $a^2=b^2+c^2-bc$: $2ab-ac+2b^2-bc=0\iff 2b(a+b)=c(a+b)\iff c=2b$ (vì $a+b>0$).
Khi đó $\frac{\sin C}{\sin B}=\frac{c}{b}=2$, mà $C=120^0-B$ nên $\sin (120^0-B)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos B+\frac{1}{2}\sin B=2\sin B\Rightarrow \tan B=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow B=30^0$.
Vậy $C=120^0-30^0=90^0$. Kiểm tra: tam giác $30^0-60^0-90^0$ có $c=2b$, $\cos B=\frac{\sqrt{3}}{2}$, hai vế đều bằng $\sqrt{3}-2$: thỏa mãn.

Câu 5b: Chọn hệ trục $A(0;0),B(a;0),C(a;a),D(0;a)$. Khi đó $M(xa;xa)$, $N\left(\frac{a}{2};a\right)$.
$\overrightarrow{MB}=(a(1-x);-xa)$, $\overrightarrow{MN}=(a(\frac{1}{2}-x);a(1-x))$.
Tam giác $BMN$ vuông cân tại $M$ khi $\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MN}=0$ và $MB=MN$.
• $\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MN}=a^2[(1-x)(\frac{1}{2}-x)-x(1-x)]=a^2(1-x)(\frac{1}{2}-2x)=0\iff x=\frac{1}{4}$ (do $0<x<1$).
• Với $x=\frac{1}{4}$: $M{B}^2=a^2\left(\frac{9}{16}+\frac{1}{16}\right)=\frac{10a^2}{16}$; $M{N}^2=a^2\left(\frac{1}{16}+\frac{9}{16}\right)=\frac{10a^2}{16}$, nên $MB=MN$.
Vậy $x=\frac{1}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$ với $AB=22,5$ km, $AC=32,5$ km, $\widehat{BAC}=80,5^{\circ }$:
$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 80,5^{\circ }$$
$$B{C}^2=22,5^2+32,5^2-2\cdot 22,5\cdot 32,5\cdot \cos 80,5^{\circ }\approx 506,25+1056,25-1462,5\cdot 0,16505\approx 1321,1$$
Suy ra $BC\approx 36,3$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$ với $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$, cạnh $a$ đối diện góc $A$ nên $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Do đó mệnh đề đúng là B, trùng với đáp án của đề (mã đề 1111, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin cho tam giác $ABC$ với $a=4$, $b=2$, $\hat{C}=60^{\circ }$: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=16+4-2\cdot 4\cdot 2\cdot \cos 60^{\circ }=20-16\cdot \frac{1}{2}=12$. Suy ra $c=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 8, mã đề 101: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 60^0=4+36-2\cdot 2\cdot 6\cdot \frac{1}{2}=28$, nên $BC=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$ với góc $A$ đối diện cạnh $BC$: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A$. Suy ra $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{4^2+9^2-7^2}{2\cdot 4\cdot 9}=\frac{16+81-49}{72}=\frac{48}{72}=\frac{2}{3}$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $a=BC=3$ cm, $b=CA=4$ cm, $c=AB=5$ cm. Vì $a^2+b^2=3^2+4^2=25=c^2$ nên tam giác vuông tại $C$, cạnh huyền là $AB=c=5$ cm.
a) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền: $R=\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}=2,5$ cm $\ne 3,5$ cm → Sai.
b) $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{16+25-9}{2\cdot 4\cdot 5}=\frac{32}{40}=0,8$ → Đúng.
c) Tam giác vuông tại $C$ nên $S=\frac{1}{2}ab=\frac{3\cdot 4}{2}=6$ cm² (kiểm tra: $\sin A=0,6$, $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5\cdot 0,6=6$) → Đúng.
d) Công thức Heron $S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ với $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi là công thức đúng; kiểm tra: $p=6$, $S=\sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=6$ → Đúng.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a)S - b)Đ - c)Đ - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Vì $a^2+b^2=3^2+4^2=25=c^2$ nên tam giác vuông tại $C$, cạnh huyền $AB=c=5$. Suy ra $R=\frac{AB}{2}=2,5$ cm $\ne 3,5$ cm → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{16+25-9}{40}=0,8$ → Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Tam giác vuông tại $C$: $S=\frac{1}{2}ab=\frac{3\cdot 4}{2}=6$ cm² → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Công thức Heron với $p$ là nửa chu vi là đúng; kiểm tra $p=6$, $S=\sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=6$ → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A+B=180^{\circ }-C$ nên $\cos (A+B)=-\cos C=-\frac{1}{8}$, suy ra $\cos C=\frac{1}{8}$. Theo định lí cosin: $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos C=16+25-2\cdot 4\cdot 5\cdot \frac{1}{8}=41-5=36$. Vậy $AB=6$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{36+144-81}{2\cdot 6\cdot 12}=\frac{99}{144}=\frac{11}{16}$. Trong tam giác $ABM$ (với $BM=8$): $A{M}^2=A{B}^2+B{M}^2-2\cdot AB\cdot BM\cdot \cos B=36+64-2\cdot 6\cdot 8\cdot \frac{11}{16}=100-66=34$. Vậy $AM=\sqrt{34}$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt AB=3k, AC=4k, BC=5k. Vì 9k²+16k²=25k² nên tam giác vuông tại A (định lí Pythagore đảo), suy ra BC là cạnh huyền và bán kính đường tròn ngoại tiếp R = BC/2 = 5k/2 = 25 ⇒ k = 10. Vậy AB=30, AC=40, BC=50.
a) Đúng: theo định lí cosin trong tam giác ABC, cos A = (AB²+AC²−BC²)/(2·AB·AC).
b) Đúng: AB²+AC² = 30²+40² = 2500 = BC² nên tam giác vuông tại A.
c) Sai: BC = 2R = 50, không phải 25.
d) Đúng: độ dài trung tuyến từ B là m_b = ½√(2·BC²+2·AB²−AC²) = ½√(5000+1800−1600) = √1300 = 10√13. Trọng tâm G chia trung tuyến theo tỉ lệ 2:1 nên BG = (2/3)·10√13 = 20√13/3.
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin: BC² = AB²+AC²−2·AB·AC·cos A ⇒ cos A = (AB²+AC²−BC²)/(2·AB·AC).
b) (AI giải đề cho tôi)
AB=3k, AC=4k, BC=5k với 9k²+16k²=25k² nên tam giác vuông tại A.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác vuông tại A nên R = BC/2 = 25 ⇒ BC = 50 ≠ 25.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trung tuyến từ B có độ dài √1300 = 10√13; BG = (2/3)·10√13 = 20√13/3.