Cho tam giác $ABC$ có tỉ lệ độ dài các cạnh $AB:AC:BC=3:4:5$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ bằng $25$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt AB=3k, AC=4k, BC=5k. Vì 9k²+16k²=25k² nên tam giác vuông tại A (định lí Pythagore đảo), suy ra BC là cạnh huyền và bán kính đường tròn ngoại tiếp R = BC/2 = 5k/2 = 25 ⇒ k = 10. Vậy AB=30, AC=40, BC=50.
a) Đúng: theo định lí cosin trong tam giác ABC, cos A = (AB²+AC²−BC²)/(2·AB·AC).
b) Đúng: AB²+AC² = 30²+40² = 2500 = BC² nên tam giác vuông tại A.
c) Sai: BC = 2R = 50, không phải 25.
d) Đúng: độ dài trung tuyến từ B là m_b = ½√(2·BC²+2·AB²−AC²) = ½√(5000+1800−1600) = √1300 = 10√13. Trọng tâm G chia trung tuyến theo tỉ lệ 2:1 nên BG = (2/3)·10√13 = 20√13/3.
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin: BC² = AB²+AC²−2·AB·AC·cos A ⇒ cos A = (AB²+AC²−BC²)/(2·AB·AC).
b) (AI giải đề cho tôi)
AB=3k, AC=4k, BC=5k với 9k²+16k²=25k² nên tam giác vuông tại A.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác vuông tại A nên R = BC/2 = 25 ⇒ BC = 50 ≠ 25.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trung tuyến từ B có độ dài √1300 = 10√13; BG = (2/3)·10√13 = 20√13/3.