Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Lập phương trình đường thẳng phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d):3x+2y-10=0$ có véc tơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;2)$. Véc tơ chỉ phương vuông góc với $\vec{n}$, lấy $\vec{u}=(-b;a)=(2;-3)$. Kiểm tra: $(3)(2)+(2)(-3)=6-6=0$, thỏa mãn. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng song song với $d:x+2y-3=0$ có dạng $x+2y+c=0$. Thay $M(2;5)$: $2+2\cdot 5+c=0\Rightarrow c=-12$. Vậy phương trình là $x+2y-12=0$, khớp đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
AC vuông góc BH nên VTCP của AC là (2;1): C = (4+2t; −2+t). C thuộc CK: (4+2t)−(−2+t)−3=0 ⇒ t=−3 ⇒ C(−2;−5). AB vuông góc CK nên VTCP của AB là (1;−1): B = (4+s; −2−s). B thuộc BH: 2(4+s)+(−2−s)−4=0 ⇒ s=−2 ⇒ B(2;0). VTCP của BC là C−B = (−4;−5), đường cao từ A vuông góc BC: −4(x−4)−5(y+2)=0 ⇔ 4x+5y−6=0. Thử A(4;−2): 16−10−6=0 đúng. Vậy a=4, b=5, c=−6, a²+b²+c²=16+25+36=77.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trung điểm AB là I(1;3). Điểm M(x;y) thuộc trung trực khi MA=MB: (x+1)^2+(y-2)^2=(x-3)^2+(y-4)^2. Khai triển: x^2+2x+1+y^2-4y+4 = x^2-6x+9+y^2-8y+16, suy ra 8x+4y-20=0, tức 2x+y-5=0. (Kiểm tra: I(1;3) thỏa 2+3-5=0; VTCP của đường này (1;-2) vuông góc AB=(4;2) vì 4-4=0.) Vậy trung trực của AB chính là 2x+y-5=0 (trùng với Δ, tức A và B đối xứng qua Δ). b) Bán kính R = d(A, Δ) = |2(-1)+2-5|/√(4+1) = 5/√5 = √5. Đường tròn (C): (x+1)^2+(y-2)^2=5.

(AI giải đề cho tôi)
VTAB = (4-3; 7-2) = (1; 5). Đường thẳng AB đi qua A(3;2) có VT (1;5): 1(x-3) - 5(y-2) = 0, tức x - 5y + 7 = 0. Kiểm tra: B(4;7): 4 - 35 + 7 = -24 ≠ 0? Tính lại: 4 - 5·7 + 7 = 4 - 35 + 7 = -24, sai. Xét lại: phương trình qua A với VT (1;5): (x-3)/1 = (y-2)/5 ⇒ 5(x-3) = y-2 ⇒ 5x - y - 13 = 0. Kiểm tra B: 5·4 - 7 - 13 = 0 ✓. Vậy AB: 5x - y - 13 = 0.

(AI giải đề cho tôi)
Δ đi qua điểm (3;2) và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-3;2)$, nên vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;3)$, phương trình tổng quát: $2(x-3)+3(y-2)=0\iff 2x+3y-12=0$. a) Thay (3;2) vào $-3x+2y+5=0$ thỏa mãn nhưng vectơ pháp tuyến của đường này là $(-3;2)$ trùng với vectơ chỉ phương của Δ, nên $-3x+2y+5=0$ vuông góc với Δ, không phải phương trình của Δ → Sai. b) $d(M,\Delta )=\frac{|2\cdot 5+3\cdot (-7)-12|}{\sqrt{4+9}}=\frac{23}{\sqrt{13}}=\frac{23\sqrt{13}}{13}$ → Đúng. c) Từ phương trình tham số, vectơ chỉ phương là $(-3;2)$ → Đúng. d) $d:3x-2y+1=0$ có pháp tuyến $(3;-2)$ cùng phương với $\vec{u}=(-3;2)$ của Δ, nên $d\perp \Delta$, góc giữa hai đường bằng $90^{\circ }$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình tổng quát đúng của Δ là $2x+3y-12=0$; đường $-3x+2y+5=0$ có pháp tuyến $(-3;2)$ trùng vectơ chỉ phương của Δ nên vuông góc với Δ, không phải là Δ.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(M,\Delta )=\frac{|2\cdot 5+3\cdot (-7)-12|}{\sqrt{13}}=\frac{23}{\sqrt{13}}=\frac{23\sqrt{13}}{13}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=3-3t,y=2+2t$, vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(-3;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của $d$ là $(3;-2)$ cùng phương với vectơ chỉ phương $(-3;2)$ của Δ, nên hai đường vuông góc, góc bằng $90^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $A(2;-3)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-3;1)$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=2-3t\\ y=-3+t\end{array}$. Kiểm tra: tại $t=0$ được điểm $A(2;-3)$, hệ số của $t$ đúng bằng $\vec{u}$. Khớp đáp án C, cũng trùng với đáp án nguồn (Câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :-2x+3y-1=0$ có $\vec{n}=(-2;3)$, nên một vecto chỉ phương là $\vec{u}=(3;2)$ (vì $\vec{u}\cdot \vec{n}=-6+6=0$). Kiểm tra từng đáp án: A $(1;\frac{2}{3})=\frac{1}{3}(3;2)$ cùng phương với $(3;2)$; B $(3;2)$ chính là vecto chỉ phương; D $(-3;-2)=-(3;2)$ cùng phương. Còn C $(2;3)$: $2\cdot 2-3\cdot 3=4-9=-5\ne 0$ (hoặc $\frac{2}{3}\ne \frac{3}{2}$), nên $(2;3)$ không là vecto chỉ phương của $\Delta$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=1-5t\\ y=-3+4t\end{array}$ nên VTCP $\vec{u}=(-5;4)$, suy ra một VTPT của $d$ là $\vec{n}=(4;5)$.

a) Đường thẳng đi qua $A(2;-1)$ và song song với $d$ có VTPT $\vec{n}=(4;5)$:
$$4(x-2)+5(y+1)=0\iff 4x+5y-3=0.$$

b) Đường thẳng đi qua $B(-3;3)$ và vuông góc với $d$ có VTCP chính là VTPT của $d$, tức ${\vec{u}}_1=(4;5)$, nên VTPT là ${\vec{n}}_1=(5;-4)$:
$$5(x+3)-4(y-3)=0\iff 5x-4y+27=0.$$
Kiểm tra: $5(-3)-4(3)+27=-15-12+27=0$ ✓.

c) $\overrightarrow{AB}=(-3-2;3+1)=(-5;4)$ trùng VTCP của $d$, nên VTPT của $AB$ là $\vec{n}=(4;5)$. Đường thẳng $AB$ đi qua $A(2;-1)$:
$$4(x-2)+5(y+1)=0\iff 4x+5y-3=0.$$
Kiểm tra với $B(-3;3)$: $4(-3)+5(3)-3=-12+15-3=0$ ✓.

Vậy: a) $4x+5y-3=0$; b) $5x-4y+27=0$; c) $4x+5y-3=0$ (đường thẳng $AB$ song song với $d$ nên trùng với kết quả câu a).

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G$ là giao của hai đường trung tuyến: giải $x+7y-10=0$ và $x-2y+2=0$ ta được $G\left(\frac{2}{3};\frac{4}{3}\right)$. Vì $G=\frac{A+B+C}{3}$ nên $B+C=3G-A=(2;4)-(1;3)=(1;1)$. Gọi $B(b_1;b_2)$ thuộc $BM$: $b_1+7b_2-10=0$; khi đó $C=(1-b_1;1-b_2)$ thuộc $CN$: $(1-b_1)-2(1-b_2)+2=0\Rightarrow b_1=2b_2+1$. Kết hợp được $9b_2=9\Rightarrow b_2=1$, $b_1=3$. Vậy $B(3;1)$, $C(-2;0)$. Đường thẳng $BC$ qua $C(-2;0)$ với hệ số góc $\frac{1-0}{3+2}=\frac{1}{5}$: $y=\frac{x+2}{5}\iff x-5y+2=0$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn (Mã 1102, Câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: Đường thẳng $\Delta$ có pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(4;-3)$, đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$ có pháp tuyến ${\vec{n}}_2=(3;4)$. Tích vô hướng ${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=4\cdot 3+(-3)\cdot 4=12-12=0$ nên $\Delta \perp {\Delta }^{\prime }$.
b) Đúng: $d$ song song với $\Delta$ nên có dạng $4x-3y+C=0$; thay $A(1;2)$: $4-6+C=0\Rightarrow C=2$, vậy $d:4x-3y+2=0$.
c) Đúng: $d(O,\Delta )=\frac{|10|}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}=\frac{10}{5}=2$.
d) Sai: pháp tuyến của $\Delta :4x-3y+10=0$ là $\vec{n}(4;-3)$, không phải $(3;4)$. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101 (a, b, c Đúng; d Sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\Delta$ có pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(4;-3)$, ${\Delta }^{\prime }$ có pháp tuyến ${\vec{n}}_2=(3;4)$. Vì ${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=12-12=0$ nên $\Delta \perp {\Delta }^{\prime }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $d$ song song với $\Delta$ nên có dạng $4x-3y+C=0$; thay $A(1;2)$: $4-6+C=0\Rightarrow C=2$, vậy $d:4x-3y+2=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $d(O,\Delta )=\frac{|10|}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}=\frac{10}{5}=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Pháp tuyến của $\Delta :4x-3y+10=0$ là $\vec{n}(4;-3)$, không phải $(3;4)$ nên mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $x-2y-1=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=1,b=-2$, nên một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;-2)$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:2x-3y+5=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=2$, $b=-3$. Một vectơ pháp tuyến của $d$ là $\vec{n}=(a;b)=(2;-3)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $x=1+2t,y=2+3t$, nên vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(2;3)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) $d_1$ qua $M(1;2)$, pháp tuyến $\vec{n}=(2;-1)$: $2(x-1)-(y-2)=0\iff 2x-y=0$. Đúng. b) $d_2$ qua $N(3;-1)$, chỉ phương $\vec{u}=(1;1)$: $x=3+t$, $y=-1+t$. Đúng. c) $d_3$ qua $N(3;-1)$, pháp tuyến $\vec{n}=(2;-1)$: $2(x-3)-(y+1)=0\iff 2x-y-7=0$, không phải $2x-y+7=0$. Sai. d) $d_4$ qua $M(1;2)$, chỉ phương $\vec{u}=(1;1)$: $x=1+t$, $y=2+t$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$2(x-1)-(y-2)=0\iff 2x-y=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $N(3;-1)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;1)$: $x=3+t$, $y=-1+t$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$2(x-3)-(y+1)=0\iff 2x-y-7=0$, khác $2x-y+7=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $M(1;2)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;1)$: $x=1+t$, $y=2+t$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4: Δ1: x−y+2=0, Δ2: x=1+3t, y=−2+t.
a) Sai. Phương trình tổng quát ax+by+c=0 có vectơ pháp tuyến n=(a;b), nên Δ1 có n=(1;−1), không phải (1;1).
b) Sai. Từ phương trình tham số của Δ2, vectơ chỉ phương là u=(3;1) (hệ số của t), không phải (1;−2).
c) Đúng. Δ1: y=x+2 đi qua điểm (0;2) và có vectơ chỉ phương u=(1;1), nên phương trình tham số x=t, y=2+t là đúng.
d) Đúng. Từ x=1+3t, y=−2+t suy ra t=y+2, thay vào: x=1+3(y+2)=3y+7 ⟺ x−3y−7=0.
a) (AI giải đề cho tôi)
Δ1: x−y+2=0 có vectơ pháp tuyến n=(1;−1), không phải (1;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
Δ2 có vectơ chỉ phương u=(3;1) (hệ số của t), không phải (1;−2).
c) (AI giải đề cho tôi)
Δ1: y=x+2 đi qua (0;2) với VTCP (1;1), nên x=t, y=2+t đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
t=y+2 ⟹ x=1+3(y+2)=3y+7 ⟺ x−3y−7=0, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình $51x-30y+11=0$:
- A $\left(-1;\frac{3}{4}\right)$: $51\cdot (-1)-30\cdot \frac{3}{4}+11=-51-22,5+11=-62,5\ne 0$.
- B $\left(-1;-\frac{3}{4}\right)$: $-51+22,5+11=-17,5\ne 0$.
- C $\left(1;\frac{3}{4}\right)$: $51-22,5+11=39,5\ne 0$.
- D $\left(-1;-\frac{4}{3}\right)$: $-51+30\cdot \frac{4}{3}+11=-51+40+11=0$.
Vậy đường thẳng đi qua điểm ở phương án D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình tham số của đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1-4t\\ y=-2+3t\end{array}$ có dạng $\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}$ với vecto chỉ phương $\vec{u}=(a;b)$. Ở đây $a=-4$, $b=3$, nên một vecto chỉ phương của $d$ là $\vec{u}=(-4;3)$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ đi qua M(x₀; y₀) với vecto chỉ phương u(a; b) có phương trình tham số dạng: điểm bất kỳ P(x; y) trên Δ thỏa MP = t·u, tức x = x₀ + at, y = y₀ + bt (t ∈ ℝ). Với t = 0 ta được đúng điểm M(x₀; y₀), và vecto chỉ phương tương ứng là (a; b). So sánh với các phương án: A sai dấu của x₀, y₀; B và D hoán vị vai trò của (x₀; y₀) và (a; b). Vậy đáp án đúng là C, khớp với đáp án nguồn (Câu 10, Mã đề 1001: C).

a) Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua M và song song với đường thẳng $d$. Vì đường thẳng $\Delta$ song song với đường thẳng $d$ nên có PT: $x-y+m=0$. Vì $M\in \Delta$ nên ta có: $5+m=0\iff m=-5$. Vậy $\Delta$ có phương trình: $x-y-5=0$. b) Xe khách chạy trên đường thẳng $d$, vị trí bắt được sóng tốt nhất là điểm $N$ thuộc $d$ sao cho $MN$ ngắn nhất khi và chỉ khi $N$ là hình chiếu của $M$ trên $d$. Đường thẳng MN đi qua M và vuông góc với d có phương trình: $x+y-1=0$. Toạ độ N là nghiệm của hệ pt: $\{\begin{array}{l}x-y+5=0\\ x+y-1=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-2\\ y=3\end{array}\Rightarrow N(-2;3)$. Ta có: $MN=5\sqrt{2}<10$ (t/m). Vậy $\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=3\end{array}\Rightarrow S=-1$.