Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Lập phương trình đường thẳng phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm AB: $M\left(\frac{2+2}{2};\frac{4+1}{2}\right)=\left(2;\frac{5}{2}\right)$ → a) đúng. $\overrightarrow{CM}=M-C=\left(2-5;\frac{5}{2}-0\right)=\left(-3;\frac{5}{2}\right)$ → b) đúng. Đường thẳng CM qua $C(5;0)$ với VTCP $\left(-3;\frac{5}{2}\right)$: $\{\begin{array}{l}x=5-3t\\ y=\frac{5}{2}t\end{array}$ → c) đúng. Với $K(-1;5)$: $5-3t=-1\Rightarrow t=2$, khi đó $y=\frac{5}{2}\cdot 2=5$ → K thuộc CM → d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm AB: $M\left(\frac{2+2}{2};\frac{4+1}{2}\right)=\left(2;\frac{5}{2}\right)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CM}=\left(2-5;\frac{5}{2}-0\right)=\left(-3;\frac{5}{2}\right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $C(5;0)$, VTCP $\left(-3;\frac{5}{2}\right)$ cho phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=5-3t\\ y=\frac{5}{2}t\end{array}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$5-3t=-1\Rightarrow t=2$, $y=\frac{5}{2}\cdot 2=5$, nên $K(-1;5)\in CM$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng song song với $d:x+2y-3=0$ có dạng $x+2y+c=0$. Thay $M(2;5)$: $2+2\cdot 5+c=0\Rightarrow c=-12$. Vậy phương trình là $x+2y-12=0$, khớp đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trung điểm AB là I(1;3). Điểm M(x;y) thuộc trung trực khi MA=MB: (x+1)^2+(y-2)^2=(x-3)^2+(y-4)^2. Khai triển: x^2+2x+1+y^2-4y+4 = x^2-6x+9+y^2-8y+16, suy ra 8x+4y-20=0, tức 2x+y-5=0. (Kiểm tra: I(1;3) thỏa 2+3-5=0; VTCP của đường này (1;-2) vuông góc AB=(4;2) vì 4-4=0.) Vậy trung trực của AB chính là 2x+y-5=0 (trùng với Δ, tức A và B đối xứng qua Δ). b) Bán kính R = d(A, Δ) = |2(-1)+2-5|/√(4+1) = 5/√5 = √5. Đường tròn (C): (x+1)^2+(y-2)^2=5.

(AI giải đề cho tôi)
VTAB = (4-3; 7-2) = (1; 5). Đường thẳng AB đi qua A(3;2) có VT (1;5): 1(x-3) - 5(y-2) = 0, tức x - 5y + 7 = 0. Kiểm tra: B(4;7): 4 - 35 + 7 = -24 ≠ 0? Tính lại: 4 - 5·7 + 7 = 4 - 35 + 7 = -24, sai. Xét lại: phương trình qua A với VT (1;5): (x-3)/1 = (y-2)/5 ⇒ 5(x-3) = y-2 ⇒ 5x - y - 13 = 0. Kiểm tra B: 5·4 - 7 - 13 = 0 ✓. Vậy AB: 5x - y - 13 = 0.

(AI giải đề cho tôi)
Δ đi qua điểm (3;2) và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-3;2)$, nên vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;3)$, phương trình tổng quát: $2(x-3)+3(y-2)=0\iff 2x+3y-12=0$. a) Thay (3;2) vào $-3x+2y+5=0$ thỏa mãn nhưng vectơ pháp tuyến của đường này là $(-3;2)$ trùng với vectơ chỉ phương của Δ, nên $-3x+2y+5=0$ vuông góc với Δ, không phải phương trình của Δ → Sai. b) $d(M,\Delta )=\frac{|2\cdot 5+3\cdot (-7)-12|}{\sqrt{4+9}}=\frac{23}{\sqrt{13}}=\frac{23\sqrt{13}}{13}$ → Đúng. c) Từ phương trình tham số, vectơ chỉ phương là $(-3;2)$ → Đúng. d) $d:3x-2y+1=0$ có pháp tuyến $(3;-2)$ cùng phương với $\vec{u}=(-3;2)$ của Δ, nên $d\perp \Delta$, góc giữa hai đường bằng $90^{\circ }$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình tổng quát đúng của Δ là $2x+3y-12=0$; đường $-3x+2y+5=0$ có pháp tuyến $(-3;2)$ trùng vectơ chỉ phương của Δ nên vuông góc với Δ, không phải là Δ.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(M,\Delta )=\frac{|2\cdot 5+3\cdot (-7)-12|}{\sqrt{13}}=\frac{23}{\sqrt{13}}=\frac{23\sqrt{13}}{13}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=3-3t,y=2+2t$, vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(-3;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của $d$ là $(3;-2)$ cùng phương với vectơ chỉ phương $(-3;2)$ của Δ, nên hai đường vuông góc, góc bằng $90^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :-2x+3y-1=0$ có $\vec{n}=(-2;3)$, nên một vecto chỉ phương là $\vec{u}=(3;2)$ (vì $\vec{u}\cdot \vec{n}=-6+6=0$). Kiểm tra từng đáp án: A $(1;\frac{2}{3})=\frac{1}{3}(3;2)$ cùng phương với $(3;2)$; B $(3;2)$ chính là vecto chỉ phương; D $(-3;-2)=-(3;2)$ cùng phương. Còn C $(2;3)$: $2\cdot 2-3\cdot 3=4-9=-5\ne 0$ (hoặc $\frac{2}{3}\ne \frac{3}{2}$), nên $(2;3)$ không là vecto chỉ phương của $\Delta$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=1-5t\\ y=-3+4t\end{array}$ nên VTCP $\vec{u}=(-5;4)$, suy ra một VTPT của $d$ là $\vec{n}=(4;5)$.

a) Đường thẳng đi qua $A(2;-1)$ và song song với $d$ có VTPT $\vec{n}=(4;5)$:
$$4(x-2)+5(y+1)=0\iff 4x+5y-3=0.$$

b) Đường thẳng đi qua $B(-3;3)$ và vuông góc với $d$ có VTCP chính là VTPT của $d$, tức ${\vec{u}}_1=(4;5)$, nên VTPT là ${\vec{n}}_1=(5;-4)$:
$$5(x+3)-4(y-3)=0\iff 5x-4y+27=0.$$
Kiểm tra: $5(-3)-4(3)+27=-15-12+27=0$ ✓.

c) $\overrightarrow{AB}=(-3-2;3+1)=(-5;4)$ trùng VTCP của $d$, nên VTPT của $AB$ là $\vec{n}=(4;5)$. Đường thẳng $AB$ đi qua $A(2;-1)$:
$$4(x-2)+5(y+1)=0\iff 4x+5y-3=0.$$
Kiểm tra với $B(-3;3)$: $4(-3)+5(3)-3=-12+15-3=0$ ✓.

Vậy: a) $4x+5y-3=0$; b) $5x-4y+27=0$; c) $4x+5y-3=0$ (đường thẳng $AB$ song song với $d$ nên trùng với kết quả câu a).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :2x-5y+10=0$ có véc-tơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-5)$ và véc-tơ chỉ phương $\vec{u}=(5;2)$.
a) Sai: pháp tuyến của $\Delta$ là $\vec{n}=(2;-5)$, không phải $(2;5)$ (vì hệ số của $y$ là $-5$).
b) Đúng: điểm $(-5;0)$ thỏa $2(-5)-5(0)+10=0$ và véc-tơ chỉ phương $(5;2)$ vuông góc với $\vec{n}=(2;-5)$ vì $5\cdot 2+2\cdot (-5)=0$.
c) Đúng: $2(-5)-5(0)+10=0$ nên $A(-5;0)\in \Delta$, và $\vec{n}=(2;-5)$ đúng là pháp tuyến.
d) Đúng: $M(-5;0)$: $-10+0+10=0$ ✓; $M(-10;-2)$: $-20+10+10=0$ ✓, cả hai điểm thuộc $\Delta$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của $\Delta :2x-5y+10=0$ là $\vec{n}=(2;-5)$, không phải $(2;5)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Điểm $(-5;0)$ thuộc $\Delta$ và véc-tơ chỉ phương $(5;2)$ vuông góc với $\vec{n}=(2;-5)$ vì $5\cdot 2+2\cdot (-5)=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$2(-5)-5(0)+10=0$ nên $A(-5;0)$ thuộc $\Delta$, và $\vec{n}=(2;-5)$ là pháp tuyến đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M(-5;0)$: $-10+10=0$ ✓; $M(-10;-2)$: $-20+10+10=0$ ✓, cả hai điểm thuộc $\Delta$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $M(1;1)$ và $N(2;4)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{MN}=(2-1;4-1)=(1;3)$. Phương trình tham số (đi qua $M$): $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+3t\end{array}$. Kiểm tra các phương án: A có vectơ chỉ phương $(1;1)$, sai; B có $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-2+3t\end{array}$, vectơ chỉ phương $(1;3)$, và với $t=1$ được $(1;1)=M$, với $t=2$ được $(2;4)=N$, đúng; C có vectơ $(-3;1)$ không cùng phương với $(1;3)$, sai; D có vectơ $(1;3)$ nhưng đi qua $(1;0)$, với $t=0$ được $(1;0)\ne M$, sai. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 101, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: Đường thẳng $\Delta$ có pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(4;-3)$, đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$ có pháp tuyến ${\vec{n}}_2=(3;4)$. Tích vô hướng ${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=4\cdot 3+(-3)\cdot 4=12-12=0$ nên $\Delta \perp {\Delta }^{\prime }$.
b) Đúng: $d$ song song với $\Delta$ nên có dạng $4x-3y+C=0$; thay $A(1;2)$: $4-6+C=0\Rightarrow C=2$, vậy $d:4x-3y+2=0$.
c) Đúng: $d(O,\Delta )=\frac{|10|}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}=\frac{10}{5}=2$.
d) Sai: pháp tuyến của $\Delta :4x-3y+10=0$ là $\vec{n}(4;-3)$, không phải $(3;4)$. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101 (a, b, c Đúng; d Sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\Delta$ có pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(4;-3)$, ${\Delta }^{\prime }$ có pháp tuyến ${\vec{n}}_2=(3;4)$. Vì ${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=12-12=0$ nên $\Delta \perp {\Delta }^{\prime }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $d$ song song với $\Delta$ nên có dạng $4x-3y+C=0$; thay $A(1;2)$: $4-6+C=0\Rightarrow C=2$, vậy $d:4x-3y+2=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $d(O,\Delta )=\frac{|10|}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}=\frac{10}{5}=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Pháp tuyến của $\Delta :4x-3y+10=0$ là $\vec{n}(4;-3)$, không phải $(3;4)$ nên mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
a) $d_1$ qua $M(1;2)$, pháp tuyến $\vec{n}=(2;-1)$: $2(x-1)-(y-2)=0\iff 2x-y=0$. Đúng. b) $d_2$ qua $N(3;-1)$, chỉ phương $\vec{u}=(1;1)$: $x=3+t$, $y=-1+t$. Đúng. c) $d_3$ qua $N(3;-1)$, pháp tuyến $\vec{n}=(2;-1)$: $2(x-3)-(y+1)=0\iff 2x-y-7=0$, không phải $2x-y+7=0$. Sai. d) $d_4$ qua $M(1;2)$, chỉ phương $\vec{u}=(1;1)$: $x=1+t$, $y=2+t$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$2(x-1)-(y-2)=0\iff 2x-y=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $N(3;-1)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;1)$: $x=3+t$, $y=-1+t$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$2(x-3)-(y+1)=0\iff 2x-y-7=0$, khác $2x-y+7=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $M(1;2)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;1)$: $x=1+t$, $y=2+t$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4: Δ1: x−y+2=0, Δ2: x=1+3t, y=−2+t.
a) Sai. Phương trình tổng quát ax+by+c=0 có vectơ pháp tuyến n=(a;b), nên Δ1 có n=(1;−1), không phải (1;1).
b) Sai. Từ phương trình tham số của Δ2, vectơ chỉ phương là u=(3;1) (hệ số của t), không phải (1;−2).
c) Đúng. Δ1: y=x+2 đi qua điểm (0;2) và có vectơ chỉ phương u=(1;1), nên phương trình tham số x=t, y=2+t là đúng.
d) Đúng. Từ x=1+3t, y=−2+t suy ra t=y+2, thay vào: x=1+3(y+2)=3y+7 ⟺ x−3y−7=0.
a) (AI giải đề cho tôi)
Δ1: x−y+2=0 có vectơ pháp tuyến n=(1;−1), không phải (1;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
Δ2 có vectơ chỉ phương u=(3;1) (hệ số của t), không phải (1;−2).
c) (AI giải đề cho tôi)
Δ1: y=x+2 đi qua (0;2) với VTCP (1;1), nên x=t, y=2+t đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
t=y+2 ⟹ x=1+3(y+2)=3y+7 ⟺ x−3y−7=0, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Từ phương trình tham số của Δ, vectơ chỉ phương là u=(-5;1), nên vectơ pháp tuyến là n=(1;5), không phải (-5;1). b) Đúng. Vectơ chỉ phương AB=(-2;3) nên vectơ pháp tuyến n=(3;2). Phương trình: 3(x-3)+2(y+2)=0 ⟺ 3x+2y-5=0. c) Sai. Bán kính R=AB=√((1-3)²+(1+2)²)=√13≠2. d) Sai. Đường tròn đường kính AB có tâm I là trung điểm AB: I(2;-1/2), bán kính R=AB/2 nên R²=13/4. Phương trình đúng là (x-2)²+(y+1/2)²=13/4, không phải 13/2. Kết quả khớp đáp án nguồn (2a S, 2b Đ, 2c S, 2d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của Δ là u=(-5;1) nên vectơ pháp tuyến là n=(1;5), không phải (-5;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
AB=(-2;3) nên n=(3;2); qua A(3;-2): 3x+2y-5=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
R=AB=√(4+9)=√13≠2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm I(2;-1/2), R²=(AB/2)²=13/4, phương trình đúng là (x-2)²+(y+1/2)²=13/4.

a) Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua M và song song với đường thẳng $d$. Vì đường thẳng $\Delta$ song song với đường thẳng $d$ nên có PT: $x-y+m=0$. Vì $M\in \Delta$ nên ta có: $5+m=0\iff m=-5$. Vậy $\Delta$ có phương trình: $x-y-5=0$. b) Xe khách chạy trên đường thẳng $d$, vị trí bắt được sóng tốt nhất là điểm $N$ thuộc $d$ sao cho $MN$ ngắn nhất khi và chỉ khi $N$ là hình chiếu của $M$ trên $d$. Đường thẳng MN đi qua M và vuông góc với d có phương trình: $x+y-1=0$. Toạ độ N là nghiệm của hệ pt: $\{\begin{array}{l}x-y+5=0\\ x+y-1=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-2\\ y=3\end{array}\Rightarrow N(-2;3)$. Ta có: $MN=5\sqrt{2}<10$ (t/m). Vậy $\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=3\end{array}\Rightarrow S=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: Δ: x−2y+1=0, T(2;3).
a) d(T,Δ)=|2−2·3+1|/√(1²+(−2)²)=|−3|/√5=3/√5=3√5/5 ≠ 5√3 → sai.
b) Đường thẳng ax+by+c=0 có vecto pháp tuyến (a;b), nên n=(1;−2) là một vecto pháp tuyến của Δ → đúng.
c) Đường thẳng qua T song song Δ có dạng x−2y+c=0; thay T(2;3): 2−6+c=0 ⇒ c=4, nên Δ': x−2y+4=0 → đúng.
d) Thay S(3;1) vào Δ': 3−2·1+4=5≠0, nên S∉Δ' → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
d(T,Δ)=|2−6+1|/√5=3/√5=3√5/5 ≠ 5√3.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tổng quát x−2y+1=0, vecto pháp tuyến n=(1;−2).
c) (AI giải đề cho tôi)
Δ' song song Δ: x−2y+c=0, qua T(2;3) ⇒ c=4 ⇒ x−2y+4=0.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay S(3;1): 3−2+4=5≠0 nên S∉Δ'.

a) $\overrightarrow{BC}=(-6;-2)$. (0,5 điểm)

b) Vì $\Delta \perp BC$ nên $\Delta$ nhận $\overrightarrow{BC}=(-6;-2)$ làm vectơ pháp tuyến hay chọn $\vec{n}=(3;1)$ làm vectơ pháp tuyến; $\Delta$ đi qua điểm $A(1;2)$. (0,25 điểm)
Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ là $3.(x-1)+1.(y-2)=0$ hay $3x+y-5=0$. (0,25 điểm)

c) Tâm của đường tròn là trung điểm $I(-1;2)$ của $BC$; bán kính của đường tròn là $R=IB=\sqrt{(2+1{)}^2+(3-2{)}^2}=\sqrt{10}$. (0,25 điểm)
Phương trình đường tròn đường kính $BC$ là: $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=10$. (0,25 điểm)

Phương trình đường thẳng $MN$ theo đoạn chắn là $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}=1⟺2x+y-2=0$. Thay tọa độ điểm $A\left(\frac{1}{2};1\right)$ vào phương trình đường thẳng $MN$: $2\cdot \frac{1}{2}+1-2=0$, điều này chứng tỏ $A\in MN$. Do đó đường thẳng đi qua $A$ và có cùng phương với $MN$ chính là đường thẳng $MN$ (trùng nhau), không thể song song với $MN$. Vậy không tồn tại đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài.