Với giá trị nào của $m$ thì hàm số $y=\frac{2x+1}{x^2-2x-3-m}$ xác định trên $\mathbb{R}$?

Cho tam giác $ABC$ có $A(1;3)$ và hai đường trung tuyến $BM:x+7y-10=0$ và $CN:x-2y+2=0$. Phương trình đường thẳng chứa cạnh $BC$ của tam giác $ABC$ là

Có bao nhiêu số tự nhiên có bảy chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3?

Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?

Cho tam giác $ABC$ có $BC=a,CA=b,AB=c$ và $R,r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác $ABC$ thỏa mãn $\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}+\frac{2r}{R}=4$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Biết phương trình $\sqrt{2x^2-5x+2}=x-1$ có một nghiệm $x=\frac{a+\sqrt{b}}{2}$ với $a,b\in \mathbb{R}$. Tổng $S=a+b$ bằng

Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 6 và các chữ số không vượt quá 6?

Để đo chiều cao của một ngọn núi người ta đứng ở các vị trí $A,B$ cách nhau $50m$ (như hình vẽ) và đo được các góc tại $A$ và $B$ lần lượt là $34^{\circ }$ và $38^{\circ }$.



Chiều cao của ngọn núi được làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất bằng

Cho tam giác $ABC$ có $AB=1$, $AC=x$ $(x>0)$ và $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Các điểm $M$, $N$ được xác định bởi $\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{NB}=-2\overrightarrow{NA}$. Khi đó $AM$ và $CN$ vuông góc với nhau khi $x$ bằng

Cho hai tập hợp $A=\left\{x\in \mathbb{R}\mid 1\le |x|\le 2\right\}$; $B=(-\infty ;m-2]\cup [m;+\infty )$. Tất cả các giá trị của $m$ để $A\subset B$ là

Cổng $GatewayArch$ ở thành phố $Missouri$ (Mỹ) có hình dạng là Parabol (như hình vẽ), người ta đo được khoảng cách giữa hai chân cổng là $AB=162m$. Từ một điểm $M$ trên thân cổng người ta đo được khoảng cách tới mặt đất là $MH=43m$ và khoảng cách từ $H$ tới điểm chân cổng gần nhất là $HA=10m$. Chiều cao của cổng $GatewayArch$ được làm tròn đến hàng phần chục là

Cho điểm $M(3;1)$, đường thẳng $(d)$ đi qua $M(3;1)$ và cắt $Ox$, $Oy$ lần lượt tại $A(a;0)$, $B(0;b)$ với $a,b>0$. Phương trình đường thẳng $(d)$ sao cho $\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}$ nhỏ nhất là

Ông Cường dùng 100 m lưới b40 để rào một mảnh vườn hình chữ nhật với mục đích để thả gia súc. Biết một cạnh của hình chữ nhật là bức tường (không phải rào). Diện tích lớn nhất của mảnh vườn để có thể rào được là

Đường thẳng $(\Delta )$: $3x-2y-7=0$ cắt đường thẳng nào sau đây?

Cho hàm số $y=a{x}^2+bx+c$ có đồ thị như hình vẽ.



Khi đó dấu của các hệ số $a$, $b$, $c$ là

Lớp 10A1 có 10 bạn học sinh được chọn đi thi hát do Đoàn trường tổ chức, trong đó có hai bạn Bình và An. Nhưng khi thi, do ban tổ chức chỉ bố trí được 8 chiếc micro nên chỉ chọn ra một đội gồm 8 bạn xếp thành một hàng ngang.

Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn hệ bất phương trình: $$\{\begin{array}{l}2x+3y\ge 28\\ 10x+5y\ge 80\\ 0\le x\le 9\\ 0\le y\le 10\end{array}$$

Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện trên đất liền ở vị trí $A$ đến một hòn đảo ở vị trí $D$. Khoảng cách ngắn nhất từ $D$ vào đất liền là $DC=2km$. Khoảng cách từ $A$ đến $C$ là $5km$. Người ta chọn một vị trí (điểm $B$) nằm giữa $A$ và $C$ để mắc đường dây điện từ $A$ đến $B$, rồi từ $B$ đến $D$. Chi phí mắc mỗi $km$ dây điện trên đất liền là $3000USD$, chi phí mắc mỗi $km$ dây điện ngầm dưới biển là $5000USD$. Tổng chi phí mắc dây điện nối từ vị trí $A$ đến vị trí $D$ theo cách trên là $23000USD$. Giả sử $AB=x(km)$ với $0<x<5$.

Tam thức bậc hai $f(x)=x^2-ax+b$ có bảng xét dấu như hình vẽ



Khi đó:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d:x+2y+8=0$ và các điểm $A(1;2),B(-2;1),C(-5;3)$. Điểm $M(a;b)$ thuộc đường thẳng $d$ sao cho $P=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho tam giác $ABC$ có $AB=7$, $AC=8$, $BC=\sqrt{57}$. Khi đó:

Cho hàm số bậc hai $y=f(x)=a{x}^2+bx+c$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Trên các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$, $P$ sao cho $\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB};\overrightarrow{NA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}$ và $AP=\frac{4a}{15}$.

Một xưởng cơ khí có hai công nhân là An và Bình. Xưởng sản xuất hai loại sản phẩm $I$ và $II$. Mỗi sản phẩm loại $I$ bán lãi 500 nghìn đồng, mỗi sản phẩm loại $II$ bán lãi 400 nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm loại $I$ thì An phải làm việc trong 3 giờ, Bình phải làm việc trong 1 giờ. Để sản xuất được một sản phẩm loại $II$ thì An phải làm việc trong 2 giờ, Bình phải làm việc trong 6 giờ. Một người không thể tham gia làm hai loại sản phẩm tại cùng một thời điểm. Biết rằng trong một tháng An không thể làm việc quá 180 giờ và Bình không thể làm việc quá 220 giờ. Số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng đó là bao nhiêu triệu đồng?

Bác Nam có một mảnh đất hình tứ giác $ABCD$ (như hình vẽ) với $AB=8,2m;BC=14,5m;CD=9,7m;AD=16,4m$. Để tính diện tích mảnh đất, cháu của bác Nam lấy hai điểm $M,N$ nằm trên hai cạnh $AB,AD$ sao cho $AM=1m;AN=1m$, sau đó bác Nam dùng thước dây đo được $MN=1,6m$. Diện tích mảnh đất bằng bao nhiêu $m^2$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Chiếc cầu dây văng một nhịp được thiết kế hai bên thành cầu có dạng parabol và được cố định bằng các dây cáp song song.



Dựa vào bản vẽ ở hình trên, biết dây dài nhất là $5m$, dây ngắn nhất là $0,8m$, khoảng cách giữa các dây bằng nhau, nhịp cầu dài 30 m. Cần tính thêm 5% chiều dài mỗi sợi dây cáp để neo cố định. Chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên là bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Người ta dùng 20 cuốn sách bao gồm 8 cuốn sách Toán, 7 cuốn sách Lý và 5 cuốn sách Hóa (các cuốn sách cùng loại thì giống nhau) để làm phần thưởng cho 10 học sinh, mỗi học sinh nhận được 2 cuốn sách khác thể loại (không tính thứ tự các cuốn sách). Có bao nhiêu cách phát thưởng cho học sinh?

Một đơn vị pháo binh phòng không ở chốt chặn $A$ phát hiện máy bay địch ở vị trí $B$ đang bay thẳng về hướng mình theo phương ngang với vận tốc 180 m/s và cách mặt đất 3 km. Pháo thủ quyết định đánh hạ mục tiêu với một phát bắn. Biết rằng tại thời điểm bị phát hiện máy bay ở tọa độ cách chốt $A$ 1 km và vận tốc đạn bay là 720 m/s.



Với cách đánh chặn mục tiêu nhanh nhất thì thời gian trúng mục tiêu tính từ khi nổ pháo là bao nhiêu giây (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ với đường cao kẻ từ $A$ và phân giác trong của góc $B$ lần lượt là $d_1:x-2y-2=0$, $d_2:x-y-1=0$. Biết $M(0;2)$ thuộc đường thẳng $AB$ và $AB=2BC$. Giả sử tam giác ABC có tọa độ đỉnh C(a;b), khi đó 2a+b bằng bao nhiêu?