Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 6 và các chữ số không vượt quá 6?

(AI giải đề cho tôi)
Số cần đếm gồm 5 chữ số đôi một khác nhau, lấy từ tập $\{0,1,2,3,4,5,6\}$, chia hết cho 6 tức chia hết cho cả 2 và 3. Tổng tất cả 7 chữ số là $21\equiv 0(\mathrm{mod}3)$, nên tổng 5 chữ số được chọn chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng 2 chữ số bị loại chia hết cho 3. Các cặp bị loại thỏa mãn: trong nhóm dư 0 là $\{0,3\},\{0,6\},\{3,6\}$; mỗi phần tử nhóm dư 1 ($\{1,4\}$) với nhóm dư 2 ($\{2,5\}$): $\{1,2\},\{1,5\},\{2,4\},\{4,5\}$ — tổng cộng 7 cặp.

TH1: Cặp bị loại chứa 0 (cặp $\{0,3\},\{0,6\}$):
- Loại $\{0,3\}$: còn $\{1,2,4,5,6\}$, chữ số chẵn là $2,4,6$: có $3\cdot 4!=72$ số.
- Loại $\{0,6\}$: còn $\{1,2,3,4,5\}$, chữ số chẵn là $2,4$: có $2\cdot 4!=48$ số.
Tổng: $120$.

TH2: Cặp bị loại không chứa 0, tức tập còn lại gồm 0 và 4 chữ số khác (5 tập: $\{0,3,4,5,6\},\{0,2,3,4,6\},\{0,1,3,5,6\},\{0,1,2,4,5\},\{0,1,2,3,6\}$). Với mỗi tập, chữ số cuối chẵn (kể cả 0), chữ số đầu khác 0:
- Nếu chữ số cuối khác 0: $4!-3!=18$ cách xếp 4 chữ số còn lại với chữ đầu khác 0.
- Nếu chữ số cuối là 0: $4!=24$ cách.
Tính cụ thể:
- $\{0,3,4,5,6\}$: chẵn khác 0 là $4,6$: $2\cdot 18+24=60$.
- $\{0,2,3,4,6\}$: chẵn khác 0 là $2,4,6$: $3\cdot 18+24=78$.
- $\{0,1,3,5,6\}$: chẵn khác 0 là $6$: $1\cdot 18+24=42$.
- $\{0,1,2,4,5\}$: chẵn khác 0 là $2,4$: $2\cdot 18+24=60$.
- $\{0,1,2,3,6\}$: chẵn khác 0 là $2,6$: $2\cdot 18+24=60$.
Tổng TH2: $60+78+42+60+60=300$.

Vậy tổng số số cần đếm là $120+300=420$, khớp đáp án A (bảng đáp án chính thức, Mã 1102, Câu 12 là A).