Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đếm có điều kiện kề nhau hoặc loại trừ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Số chia hết cho 5 phải có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. Trong $A=\{0;1;2;3;4;6\}$ không có chữ số 5, nên chữ số tận cùng phải là 0. Khi đó chữ số hàng nghìn có 5 cách chọn (1;2;3;4;6), hai chữ số còn lại chọn từ 4 chữ số còn lại: $4\cdot 3=12$ cách. Tổng: $5\cdot 4\cdot 3=60$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Coi khối 3 thầy cô là một phần tử: thầy giáo đứng giữa cố định, hai cô giáo hoán vị cho nhau: $2!=2$ cách. Khối này cùng 6 học sinh tạo thành 7 phần tử xếp hàng: $7!=5040$ cách. Tổng: $2\cdot 7!=10080$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
a) Xếp tùy ý 9 người vào 9 ghế: $9!=362880$ → đúng. b) An, Bình cạnh nhau: coi như một khối, có $8!\cdot 2=80640$ cách (không phải 40320) → sai. c) Không cạnh nhau: $9!-8!\cdot 2=362880-80640=282240$ → đúng. d) An, Bình ngồi 2 đầu dãy ghế: $2!\cdot 7!=2\cdot 5040=10080$ cách (không phải 5040) → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$9!=362880$ cách xếp tùy ý.
b) (AI giải đề cho tôi)
An và Bình cạnh nhau: $8!\cdot 2=80640$ cách, không phải 40320.
c) (AI giải đề cho tôi)
$9!-2\cdot 8!=362880-80640=282240$ cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai đầu dãy: $2!\cdot 7!=10080$ cách, không phải 5040.

(AI giải đề cho tôi)
Số có ba chữ số khác nhau lập từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6. Chữ số hàng trăm không thể là 0 nên có 6 cách chọn. Hàng chục: chọn từ 6 chữ số còn lại (đã dùng 1) nên có 6 cách. Hàng đơn vị: 5 cách. Tổng: $6\times 6\times 5=180$ số.

Giải
Trong 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 thứ phẩm trong 3 trường hợp sau đây.
Trường hợp 1: Có đúng 1 thứ phẩm.
Trường hợp này có $C_{97}^2{C}_3^1=4656.3=13968$ cách lấy, như đã tính ở trên.
Trường hợp 2: Có đúng 2 thứ phẩm.
Trường hợp này có $C_{97}^1{C}_3^2=97.3=291$ cách lấy.
Trường hợp 3: Có đúng 3 thứ phẩm.
Trường hợp này có $C_3^3=1$ cách lấy.
Áp dụng quy tắc cộng, số cách lấy 3 sản phẩm có ít nhất 1 thứ phẩm là $13968+291+1=14260$ (cách).
Cách khác: Có thể giải bài toán bằng cách tìm phần bù. Số cách lấy 3 sản phẩm đều là chính phẩm là $C_{97}^3$.
Từ đó, số cách lấy 3 sản phẩm trong đó có ít nhất một thứ phẩm là $C_{100}^3-C_{97}^3=161700-147440=14260$ (cách).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số số: $6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=360$. Theo mod 3: nhóm 0: $\{3;6\}$, nhóm 1: $\{1;4\}$, nhóm 2: $\{2;5\}$. Các tập 4 chữ số có tổng chia hết cho 3: $(a,b,c)$ với $b+2c\equiv 0(\mathrm{mod}3)$: $(0,2,2)$: 1 tập; $(2,1,1)$: 4 tập → 5 tập, mỗi tập $4!=24$ cách xếp → $|B|=120$.
a) Chữ số cuối chẵn (2;4;6): $3\cdot A_5^3=180$ → đúng.
$A\cap B$ theo chữ số cuối:
- cuối = 2: cần 3 chữ từ $\{1;3;4;5;6\}$ có tổng $\equiv 1$: các bộ $\{1;3;6\},\{1;4;5\},\{3;4;6\}$ → 3 bộ → 18 số.
- cuối = 4: cần tổng $\equiv 2$ từ $\{1;2;3;5;6\}$: các bộ $\{1;2;5\},\{2;3;6\},\{3;5;6\}$ → 3 bộ → 18 số.
- cuối = 6: cần tổng $\equiv 0$ từ $\{1;2;3;4;5\}$: các bộ $\{1;2;3\},\{2;3;4\},\{1;3;5\},\{3;4;5\}$ → 4 bộ → 24 số.
Vậy $|A\cap B|=18+18+24=60\ne 42$ → b sai.
c) $A\overline{B}=A\cap \overline{B}=A\setminus B$ có $180-60=120$ phần tử, không phải 180 → sai.
d) $|A\cup \overline{B}|=|A|+|\overline{B}|-|A\cap \overline{B}|=180+240-120=300\ne 420$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chọn chữ số cuối chẵn (2;4;6): 3 cách, sau đó chọn và xếp 3 chữ số từ 5 chữ còn lại: $A_5^3=60$, nên $|A|=3\cdot 60=180$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đếm trực tiếp: cuối 2 cho 18 số, cuối 4 cho 18 số, cuối 6 cho 24 số; $|A\cap B|=60\ne 42$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$A\overline{B}=A\cap \overline{B}=A\setminus B$ có $180-60=120$ phần tử, không phải 180.
d) (AI giải đề cho tôi)
$|A\cup \overline{B}|=180+(360-120)-(180-60)=300\ne 420$.

(AI giải đề cho tôi)
Coi Hải và Kiên là một khối, cùng 5 bạn còn lại tạo thành 6 đối tượng xếp hàng: $6!=720$ cách. Trong khối, Hải và Kiên đổi chỗ cho nhau được $2!=2$ cách. Vậy tổng số cách xếp là $6!\cdot 2!=720\cdot 2=1440$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Gộp An và Bình thành một khối, cùng 4 bạn còn lại thành 5 đối tượng xếp hàng: $5!=120$ cách. Trong khối, An và Bình đổi chỗ cho nhau được $2!=2$ cách. Vậy tổng số cách xếp là $5!\cdot 2!=120\cdot 2=240$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có 12 bạn: 5 nam (1 nam tên Hiền), 7 nữ (2 nữ tên Hiền).
a) Chọn 3 bạn từ 12 bạn là tổ hợp $C_{12}^3=220$, không phải $A_{12}^3=1320$ (chọn không xét thứ tự) → sai.
b) Cách chọn 3 bạn bất kỳ: $C_{12}^3=220$; cách chọn 3 nam: $C_5^3=10$. Số cách có ít nhất 1 nữ: $220-10=210$ → đúng.
c) Đúng một bạn tên Hiền và nhóm có cả nam lẫn nữ:
- Chọn Hiền nam (1 cách), 2 bạn còn lại từ 9 bạn không tên Hiền (4 nam, 5 nữ) phải có ít nhất 1 nữ: $C_9^2-C_4^2=36-6=30$.
- Chọn 1 trong 2 Hiền nữ, 2 bạn còn lại từ 9 bạn phải có ít nhất 1 nam: $C_9^2-C_5^2=36-10=26$, có $2\times 26=52$.
Tổng: $30+52=82$ → đúng.
d) Hai bạn Hiền nữ là hai người phân biệt. Chọn 1 trong 2 nữ Hiền đứng đầu: 2 cách. Khi đó nam Hiền phải ở vị trí 2 và nữ Hiền còn lại ở vị trí 3 (nam Hiền nằm giữa hai nữ Hiền). Còn lại 9 người xếp vào 9 vị trí: $9!=362880$ cách. Tổng: $2\times 9!=725760$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 từ 12 không xét thứ tự: $C_{12}^3=220\ne A_{12}^3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$C_{12}^3-C_5^3=220-10=210$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hiền nam: $C_9^2-C_4^2=30$; Hiền nữ: $2(C_9^2-C_5^2)=52$; tổng $82$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chọn nữ Hiền đứng đầu (2 cách), nam Hiền ở vị trí 2, nữ Hiền còn lại ở vị trí 3, xếp 9 người còn lại: $2\times 9!=725760$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập $P$ gồm $11\times 11=121$ điểm nguyên với $x,y\in \{0,1,\dots ,10\}$. Đoạn thẳng dài 5 có hai đầu mút thuộc $P$ ứng với cặp điểm có vectơ chỉ phương $(a;b)$ với $a^2+b^2=25$, tức $(a;b)\in \{(5;0),(0;5),(3;4),(4;3)\}$.
- $(5;0)$: mỗi hàng có $11-5=6$ đoạn, $11$ hàng $\Rightarrow 66$ đoạn; tương tự $(0;5)$ cho $66$ đoạn. Tổng ngang-đứng: $132$.
- $(3;4)$: điểm đầu có $11-3=8$ lựa chọn $x$ và $11-4=7$ lựa chọn $y$, mỗi lựa chọn có 2 đoạn (dốc $\pm 4/3$) $\Rightarrow 8\cdot 7\cdot 2=112$ đoạn.
- $(4;3)$: tương tự $7\cdot 8\cdot 2=112$ đoạn.
Tổng: $132+112+112=356$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Số cần đếm có dạng $n=10k+2$ với $10000\le k\le 99999$ (để $n$ có 6 chữ số). Điều kiện chia hết cho 13: $10k+2\equiv 0(\mathrm{mod}13)\Rightarrow 10k\equiv 11(\mathrm{mod}13)$. Vì $10^{-1}\equiv 4(\mathrm{mod}13)$ nên $k\equiv 44\equiv 5(\mathrm{mod}13)$. Số $k$ nhỏ nhất $\ge 10000$ đồng dư 5 mod 13 là $k=10002$ (vì $10002=13\cdot 769+5$). Số $k$ lớn nhất $\le 99999$ đồng dư 5 mod 13: ta có $99999\equiv 3(\mathrm{mod}13)$, lùi dần đến $99988\equiv 5(\mathrm{mod}13)$, vậy $k=99988$. Số lượng: $\frac{99988-10002}{13}+1=\frac{89986}{13}+1=6922+1=6923$. Kiểm tra bằng cách khác: $n=13m$ có chữ số tận cùng 2 khi $3m\equiv 2(\mathrm{mod}10)\Rightarrow m\equiv 4(\mathrm{mod}10)$; với $m$ nhỏ nhất $7694$ ($n=100022$) và lớn nhất $76914$ ($n=999882$), số giá trị là $\frac{76914-7694}{10}+1=6923$. Vậy $|S|=6923$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Số có ba chữ số phân biệt từ $A=\{0,1,2,3,4,5\}$: chữ số hàng trăm không được là 0 nên có 5 cách; hàng chục có 5 cách (trừ chữ số đã dùng, 0 được phép); hàng đơn vị có 4 cách. Tổng: $5\times 5\times 4=100$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số niêu chứa phần thưởng được đập vỡ ở hai hàng là k. Người chơi nhận được tối đa 1 niêu phần thưởng nghĩa là k = 0 hoặc k = 1.

- Trường hợp k = 0 (không có niêu phần thưởng nào): phải đập 2 niêu bột mì ở hàng 1 và 2 niêu bột mì ở hàng 2. Số cách: $C_4^2\cdot C_6^2=6\cdot 15=90$.
- Trường hợp k = 1: có hai khả năng.
+ Niêu phần thưởng ở hàng 1: chọn 1 phần thưởng và 1 bột mì ở hàng 1, và 2 bột mì ở hàng 2: $C_8^1{C}_4^1{C}_6^2=8\cdot 4\cdot 15=480$.
+ Niêu phần thưởng ở hàng 2: chọn 2 bột mì ở hàng 1, và 1 phần thưởng 1 bột mì ở hàng 2: $C_4^2{C}_9^1{C}_6^1=6\cdot 9\cdot 6=324$.

Vậy tổng số cách: $90+480+324=894$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Số có tổng chữ số lẻ phải gồm 1 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn. Chọn chữ số lẻ từ $\{1;3\}$: $2$ cách; chọn 2 chữ số chẵn từ $\{2;4\}$: $C(2,2)=1$ cách; sắp xếp 3 chữ số phân biệt: $3!=6$ cách. Tổng: $2\times 1\times 6=12$ số. Kết quả khớp với đáp án nguồn ($12$).

Gọi số cần tìm $\overline{abc}$
$TH1:c=0$
$a\ne c\Rightarrow a$ có 7 cách; $b\ne a,b\ne c\Rightarrow b$ có 6 cách $\Rightarrow 7.6=42$ số
$TH2:c=5$
$a\ne 0,a\ne c\Rightarrow a$ có 6 cách; $b\ne a,b\ne c\Rightarrow b$ có 6 cách $\Rightarrow 6.6=36$ số
Vậy có $42+36=78$ số

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: Lớp có 18 nam và 12 nữ.
a) Chọn 3 học sinh có duy nhất một bạn nữ: chọn 1 nữ trong 12 bạn và chọn 2 nam trong 18 bạn. Số cách là $C_{12}^1\cdot C_{18}^2=12\cdot \frac{18\cdot 17}{2}=12\cdot 153=1836$ cách.
b) Chọn 3 học sinh làm ban cán sự gồm lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó văn thể mĩ: đây là chọn và sắp xếp 3 người từ 30 học sinh (các chức vụ khác nhau nên thứ tự quan trọng). Số cách là $A_{30}^3=30\cdot 29\cdot 28=24360$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 3 học sinh từ 13 học sinh là $C_{13}^3=286$. Số cách chọn không có nam nào (cả 3 đều nữ) là $C_7^3=35$. Vậy số cách chọn có ít nhất một học sinh nam là $286-35=251$. Đáp án D.

a) Gọi số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau cần lập là $\overline{abcde}$.
TH1: $\overline{abcd0}$ có $A_4^3=120$ số.
TH2: $\overline{abcde}$, $e\in \{2,4\}$, nên có 2 cách chọn $e$, có 4 cách chọn $a$ nên có $\mathrm{2.4.}{A}_4^3=192$ số.
Vậy tất cả có $120+192=312$ số. (1,5 điểm)

b) Số cách lập được số tự nhiên gồm 9 chữ số trong đó chữ số 2 xuất hiện ba lần, chữ số 4 xuất hiện hai lần và các chữ số còn lại mỗi chữ số chỉ xuất hiện đúng một lần bao gồm cả chữ số 0 ở vị trí đầu tiên là $\frac{9!}{3!2!}=30240$ số. (0,5 điểm)

Số cách lập được số tự nhiên gồm 9 chữ số trong đó chữ số 2 xuất hiện ba lần, chữ số 4 xuất hiện hai lần và các chữ số còn lại mỗi chữ số chỉ xuất hiện đúng một lần và chữ số 0 ở vị trí đầu tiên là $\frac{8!}{3!2!}=3360$ số.
Vậy có $30240-3360=26880$ số. (1,0 điểm)

Chú ý: Học sinh làm theo cách khác nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa.

Xét số có hình thức $\overline{0bcde}$. Số cách hoán đổi vị trí hai chữ số 1, 4 (cùng nhóm $X$) là 2. Số cách hoán đổi vị trí của $X$ với các chữ số 2, 3 là: $3!$. Vậy số các số được lập theo hình thức này là $2.3!=12$.

Xét số có hình thức $\overline{abcde}$ trong đó $a$ được phép bằng 0. Số cách hoán đổi vị trí của hai chữ số 1, 4 (cùng nhóm $X$) là 2. Số cách hoán đổi vị trí của $X$ với các chữ số 0, 2, 3 là: $4!$. Số các số được lập theo hình thức này là $2.4!=48$.

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là $48-12=36$. (0,25 + 0,25 điểm)