Trong một lô 100 sản phẩm, có 97 chính phẩm (sản phẩm đạt tiêu chuẩn) và 3 thứ phẩm (sản phẩm không đạt tiêu chuẩn). Từ 100 sản phẩm này, có bao nhiêu cách lấy ra 3 sản phẩm mà trong đó có ít nhất một thứ phẩm?

Giải
Trong 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 thứ phẩm trong 3 trường hợp sau đây.
Trường hợp 1: Có đúng 1 thứ phẩm.
Trường hợp này có $C_{97}^2{C}_3^1=4656.3=13968$ cách lấy, như đã tính ở trên.
Trường hợp 2: Có đúng 2 thứ phẩm.
Trường hợp này có $C_{97}^1{C}_3^2=97.3=291$ cách lấy.
Trường hợp 3: Có đúng 3 thứ phẩm.
Trường hợp này có $C_3^3=1$ cách lấy.
Áp dụng quy tắc cộng, số cách lấy 3 sản phẩm có ít nhất 1 thứ phẩm là $13968+291+1=14260$ (cách).
Cách khác: Có thể giải bài toán bằng cách tìm phần bù. Số cách lấy 3 sản phẩm đều là chính phẩm là $C_{97}^3$.
Từ đó, số cách lấy 3 sản phẩm trong đó có ít nhất một thứ phẩm là $C_{100}^3-C_{97}^3=161700-147440=14260$ (cách).