Đề Thi Học Sinh Giỏi THPT Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Hải Phòng - Đề Số 2

Gọi $m,M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{2}x-\sqrt{x+1}$ trên đoạn $\left[0;3\right]$. Tính tổng $S=2m+3M$.

Trong hình vẽ bên, các đường cong $\left(C_1\right):y=a^x$; $\left(C_2\right):y=b^x$; $\left(C_3\right):y=c^x$ và các đường thẳng $y=4$; $y=8$ tạo thành hình vuông $MNPQ$ có cạnh bằng 4.
Biết rằng $abc=2^{\frac{x}{y}}$ với $x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $\frac{x}{y}$ tối giản, giá trị của $x+y$ bằng

Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho $△ABC$ có $A(1;2);B(-3;3);C(5;0)$. Gọi $M\left(a;b\right)$ là điểm nằm trên đoạn thẳng $AC$ thỏa mãn $S_{△ABC}=3.S_{△ABM}$. Giá trị của biểu thức $P=3a-6b$ bằng

Bạn An thả quả bóng cao su từ độ cao $10m$ theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng $\frac{3}{4}$ độ cao liền trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn.

Trong đề kiểm tra môn Toán có 20 câu trắc nghiệm. Mỗi câu trắc nghiệm có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án trả lời đúng. Bạn An giải chắc chắn đúng 10 câu, 10 câu còn lại lựa chọn ngẫu nhiên đáp án. Biết rằng mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm, trả lời sai không bị trừ điểm. Xác suất để bạn An đạt được đúng 8 điểm bằng (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn)

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ biết $A\left(3;0;0\right),B\left(-3;0;0\right)$ và $C\left(0;5;1\right)$. $M$ là một điểm thay đổi trên mặt phẳng $\left(Oxy\right)$ sao cho $MA+MB=2\sqrt{34}$. Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $MC$ bằng

Cho một đa giác đều 48 đỉnh. Lấy ngẫu nhiên ba đỉnh của đa giác. Xác suất để tam giác tạo thành từ ba đỉnh đó là một tam giác nhọn bằng

Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số mà mỗi số trong tập đó đều có chữ số hàng đơn vị bằng 2 và chia hết cho 13. Số phần tử của tập $S$ là

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$ và $SA=a\sqrt{5}$, đáy là tam giác vuông tại $A$ với $AB=a$, $AC=2a$. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(SBC)$. Giá trị của $\tan \alpha$ bằng

Số liệu thống kê điểm thi giữa học kỳ 1 môn Toán của các học sinh khối 12 một trường THPT được cho bởi bảng sau:

Một mốt của mẫu số liệu là (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Bác thợ mộc có một khúc gỗ quý đồng chất dạng hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Khúc gỗ được định giá theo trọng lượng với mỗi ki-lô-gam có giá là 6 triệu đồng. Một khách hàng đến mua một phần của khúc gỗ và yêu cầu bác thợ cắt theo mặt phẳng $(B^{\prime }MN)$ với $M,N$ lần lượt là trung điểm hai cạnh $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ). Giả sử khối gỗ ban đầu có trọng lượng $4kg$ và phần mép cắt không đáng kể. Số tiền mà khách hàng bỏ ra để mua phần khúc gỗ có thể tích nhỏ hơn là

Cho dãy số $(u_n)$ với $\{\begin{array}{l}{u}_1=-2\\ u_n=3u_{n-1}-1,\forall n\ge 2\end{array}$. Giá trị của $\frac{2u_{2026}-1}{3^{2026}}$ bằng

Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi ki-lô-gam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi ki-lô-gam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này mỗi ngày chỉ mua nhiều nhất là $1,6kg$ thịt bò và $1,1kg$ thịt lợn; giá tiền $1kg$ thịt bò là 250 nghìn đồng; $1kg$ thịt lợn là 160 nghìn đồng. Giả sử một ngày gia đình đó mua $x(kg)$ thịt bò và $y(kg)$ thịt lợn về sử dụng.

Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2+2x-2}{x+3}$ có đồ thị $(C)$.

Hàng ngày mực nước tại một cảng biển lên xuống theo thủy triều. Chiều cao $h$ (mét) của mực nước theo thời gian $t$ (giờ) trong một ngày được cho bởi công thức $h=8+2\sin \left(\frac{\pi }{11}t\right)$ với $0\le t<24$.

Trong không gian $Oxyz$, cho $\Delta ABC$ biết $A(3;-2;5),B(3;-2;-1)$ và $C(3;1;-4)$.

Cho $x,y$ là các số thực thay đổi thoả mãn $10^{x^2+y^2+2}+\log \frac{x^2+y^2+2}{4x+6y-7}\le 10^{4x+6y-7}$. Tập giá trị của biểu thức $P=x^2+y^2-20x+8y$ có bao nhiêu số nguyên?

Khảo sát thời gian tập thể dục tại các hội viên thuộc ba câu lạc bộ dân vũ của thành phố Hải Phòng trong một ngày thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu bằng bao nhiêu phút? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Chọn ngẫu nhiên 4 số từ tập hợp $S=\{1;2;3;\dots ;200\}$. Xác suất để bộ 4 số được chọn ra lập thành một cấp số cộng có công sai dương bằng $\frac{m}{n}$ với $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $(m,n)=1$. Giá trị của biểu thức $m+n$ bằng bao nhiêu?

Lúc $7h00^{\prime }$ sáng ngày 11/12/2025, có hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một vị trí trên mặt đất. Đến $8h00^{\prime }$ sáng hôm đó, chiếc thứ nhất đang ở vị trí $A$ cách vị trí xuất phát $1km$ về phía Đông và $2km$ về phía Bắc, đồng thời cách mặt đất $0,5km$; chiếc thứ hai đang ở vị trí $B$ nằm cách vị trí xuất phát $1,5km$ về phía Tây và $1km$ về phía Nam, đồng thời cách mặt đất $0,7km$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại vị trí xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía Đông, trục $Oy$ hướng về phía Bắc và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trên (tham khảo hình vẽ). Lấy đơn vị trên mỗi trục tọa độ là $km$.
Từ $8h00^{\prime }$ sáng đến $8h20^{\prime }$ sáng hôm đó, khinh khí cầu thứ nhất đi thẳng đều theo hướng Đông với tốc độ $30km/h$ và độ cao không đổi để đến điểm $M$; khinh khí cầu thứ hai chuyển động thẳng đều đến điểm $N$ với tốc độ $45km/h$, biết vectơ $\overrightarrow{BN}$ cùng hướng với vectơ $\vec{u}=(2;2;1)$. Bỏ qua lực cản của gió, khoảng cách $MN$ bằng bao nhiêu ki-lô-mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=SB=SC=7cm$; $AB=3cm$, $AC=6cm$, $\widehat{BAC}=120^{\circ }$. Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$ bằng bao nhiêu xăng-ti-mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Nhà ba bạn Minh, Nam, Quý theo thứ tự ở ba vị trí $M,N,Q$. Có ba con đường thẳng nối nhà các bạn với độ dài các đoạn đường là $QM=3km,QN=6km$ và $QM\perp QN$ (tham khảo hình vẽ). Vào 9h00' sáng Chủ nhật, bạn Quý đi bộ đến nhà bạn Minh với tốc độ $4km/h$, cùng lúc đó bạn Minh đi xe đạp đến nhà bạn Nam với tốc độ $12km/h$. Hỏi sau bao nhiêu phút thì khoảng cách giữa hai bạn Minh và Quý là ngắn nhất. (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười của phút).