Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đếm có điều kiện kề nhau hoặc loại trừ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $k$ là số quả đỏ lấy được, cần $k>5-k$, tức $k\ge 3$.
- $k=3$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{2}\right)=120\cdot 105=12600$.
- $k=4$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{4}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{1}\right)=210\cdot 15=3150$.
- $k=5$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{5}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{0}\right)=252$.
Tổng: $12600+3150+252=16002$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Mật khẩu gồm 4 chữ số khác nhau từ {0,1,2,3,4,5}. Chữ số đầu không được là 0 nên có 5 cách; chữ số thứ hai có 5 cách (còn 5 số trong đó có 0); chữ số thứ ba có 4 cách; chữ số thứ tư có 3 cách. Tổng: $5\cdot 5\cdot 4\cdot 3=300$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Đếm tổng số số lẻ có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ {0,1,3,6,7,8,9}, rồi trừ đi các số không chứa chữ số 7.

Tổng số số lẻ: chữ số cuối (hàng đơn vị) phải lẻ: có 4 cách (1, 3, 7, 9). Chữ số đầu khác 0 và khác chữ số cuối: 5 cách. Hai chữ số giữa: chọn từ 5 chữ số còn lại: $A_5^2=20$ cách. Tổng: $4\cdot 5\cdot 20=400$.

Số lẻ không chứa chữ số 7: chữ số cuối thuộc {1, 3, 9}: 3 cách; chữ số đầu khác 0, khác chữ số cuối, khác 7: 4 cách; hai chữ số giữa từ 4 chữ số còn lại: $A_4^2=12$ cách. Tổng: $3\cdot 4\cdot 12=144$.

Vậy số số lẻ có 4 chữ số đôi một khác nhau, phải có mặt chữ số 7 là: $400-144=256$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng cách chọn 3 học sinh từ 7 người là $C_7^3=35$. Cách chọn không có nữ (cả 3 nam) là $C_5^3=10$. Vậy số cách chọn có cả nam và nữ là $35-10=25$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng bù trừ. Tổng số số lẻ có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 0,1,3,6,7,8,9: chữ số cuối thuộc {1,3,7,9} (4 cách), chữ số đầu khác 0 và khác chữ số cuối (5 cách), hai chữ số giữa chọn từ 5 chữ còn lại: $A_5^2=20$. Tổng: $4\cdot 5\cdot 20=400$. Số các số lẻ không chứa chữ số 7 (từ {0,1,3,6,8,9}): chữ số cuối thuộc {1,3,9} (3 cách), chữ số đầu (4 cách), hai chữ giữa $A_4^2=12$: $3\cdot 4\cdot 12=144$. Vậy số cần tìm: $400-144=256$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Gộp $A,B$ thành một khối: có $2!$ cách xếp trong khối, khối cùng $C,D,E$ xếp thành hàng: $4!$ cách. Vậy $2!\cdot 4!=48$ cách.

b) Tổng số cách xếp 5 người thành hàng ngang là $5!=120$. Số cách xếp sao cho $C$ và $D$ đứng cạnh nhau: gộp $C,D$ thành một khối, được $2!\cdot 4!=48$ cách. Vậy số cách xếp sao cho $C$ và $D$ không đứng cạnh nhau là $120-48=72$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
a) 5! = 120 cách xếp tùy ý → Đúng. b) Gộp Bình, An thành một khối: 4!·2 = 48 → Đúng. c) Hai đầu ghế: Bình, An đổi chỗ 2 cách, 3 bạn còn lại xếp 3! = 6 cách, tổng 2·6 = 12 → Đúng. d) Hai vị trí cách nhau đúng một bạn: (1,3), (2,4), (3,5) → 3 cặp vị trí; Bình, An đổi chỗ 2 cách; 3 bạn còn lại 3! = 6 cách; tổng 3·2·6 = 36 ≠ 24 → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn (a Đ, b Đ, c Đ, d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
5! = 120.
b) (AI giải đề cho tôi)
Gộp cặp: 4!·2 = 48.
c) (AI giải đề cho tôi)
2·3! = 12.
d) (AI giải đề cho tôi)
3 cặp vị trí × 2 × 3! = 36 ≠ 24.

(AI giải đề cho tôi)
Coi mỗi môn là một khối: xếp 3 khối Toán, Lí, Hóa có $3!=6$ cách. Trong từng khối, xếp 4 quyển Toán có $4!=24$ cách, 3 quyển Lí có $3!=6$ cách, 2 quyển Hóa có $2!=2$ cách. Tổng số cách: $3!\cdot 4!\cdot 3!\cdot 2!=6\cdot 24\cdot 6\cdot 2=1728$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) 5! = 120 cách xếp 5 người vào 5 chỗ → đúng. b) Gộp Bình và An thành một khối: 4!·2 = 48 cách, không phải 24 → sai. c) Bình và An ở hai đầu ghế: 2 cách chọn đầu × 3! = 12 cách, không phải 6 → sai. d) Hai vị trí cách nhau đúng một chỗ: (1,3), (2,4), (3,5) → 3 cặp vị trí × 2 cách xếp Bình/An × 3! = 36 cách → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
5! = 120 cách xếp 5 người vào 5 chỗ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Gộp Bình và An thành một khối: 4!·2 = 48 cách, không phải 24.
c) (AI giải đề cho tôi)
2 cách chọn đầu × 3! = 12 cách, không phải 6.
d) (AI giải đề cho tôi)
3 cặp vị trí (1,3),(2,4),(3,5) × 2 × 3! = 36 cách.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: chữ số đầu có 7 cách (1–7), chữ số thứ hai có 7 cách (khác chữ số đầu, được dùng 0) nên chỉ lập được $7\times 7=49$ số, không phải 56.
b) Sai: Số chia hết cho 5 nên chữ số cuối là 0 hoặc 5. Trường hợp tận cùng 0: hai chữ số đầu khác nhau, chứa 2, khác 0, chọn từ {1,...,7}: chọn chữ số còn lại 6 cách, xếp 2 cách $\Rightarrow 12$ số. Trường hợp tận cùng 5: hai chữ số đầu chứa 2; nếu 2 đứng đầu thì chữ số kia 6 cách (từ {0,1,3,4,6,7}); nếu 2 đứng thứ hai thì chữ số đầu khác 0 và khác 2 nên 5 cách $\Rightarrow 11$ số. Tổng $12+11=23\ne 22$.
c) Đúng: số chẵn có hai chữ số khác nhau: tận cùng 0 có 7 cách; tận cùng 2,4,6 mỗi trường hợp có 6 cách $\Rightarrow 7+3\times 6=25$ số.
d) Đúng: số tự nhiên có một chữ số từ bộ digits {0,1,2,3,4,5,6,7} là 0,1,2,3,4,5,6,7: đúng 8 số.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ có $7\times 7=49$ số, không phải 56.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đếm được 23 số (12 với tận cùng 0, 11 với tận cùng 5), không phải 22.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tận cùng 0: 7 cách; tận cùng 2,4,6: mỗi lần 6 cách; tổng $7+18=25$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các số 0,1,2,3,4,5,6,7: đúng 8 số.

(AI giải đề cho tôi)
Đa giác 12 đỉnh nội tiếp nên các đỉnh chia đường tròn thành 12 cung nhỏ bằng nhau (mỗi cung 30°). Tổng số tam giác: $C_{12}^3=220$.

Tam giác vuông: có cạnh là đường kính. Có 6 đường kính nối 12 đỉnh, mỗi đường kính kết hợp với 10 đỉnh còn lại cho 1 tam giác vuông: $6\times 10=60$.

Tam giác nhọn: góc nhọn khi và chỉ khi cung bị chặn bởi cạnh đối diện nhỏ hơn nửa đường tròn, tức cả 3 khoảng cách (số cung) giữa ba đỉnh liên tiếp đều $<6$. Đếm số bộ $(a,b,c)$ với $a+b+c=12$, $1\le a,b,c\le 5$: đặt $a^{\prime }=a-1$... tổng $9$, mỗi phần $\le 4$; không giới hạn có $C_{11}^2=55$, trừ các trường hợp một phần $\ge 5$: mỗi phần $C_6^2=15$, cộng lại $55-3\cdot 15=10$ bộ. Mỗi tam giác nhọn được đếm 3 lần (theo đỉnh xuất phát) trên 12 vị trí: số tam giác nhọn $=\frac{10\times 12}{3}=40$.

Vậy tam giác tù: $220-60-40=120$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Số chẵn hai chữ số khác nhau: hàng đơn vị là 0 thì có 7 cách chọn hàng chục; hàng đơn vị là 2,4,6 thì mỗi trường hợp có 6 cách → 7+3·6=25. Đúng.
b) Chia hết cho 5 nên tận cùng 0 hoặc 5. Tận cùng 0: chọn 2 chữ từ {1,2,3,4,5,6,7} chứa 2: A(6,2)−A(5,2)=30−20=10. Tận cùng 5: hàng chục ≠0, chứa 2: 6·6−5·5=36−25=11. Tổng 21≠22 → Sai.
c) Số có hai chữ số khác nhau: 7·7=49≠56 → Sai.
d) Số tự nhiên có một chữ số lập từ các chữ số 0–7: có 8 số (0,1,...,7) → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàng đơn vị 0: 7 cách; hàng đơn vị 2,4,6: mỗi lần 6 cách; tổng 25.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tận cùng 0 cho 10 số, tận cùng 5 cho 11 số, tổng 21 chứ không phải 22.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số có hai chữ số khác nhau là 7·7=49.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các số 0,1,2,3,4,5,6,7: 8 số.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác nội tiếp đường tròn có góc tù khi và chỉ khi cung bị chặn bởi hai đỉnh còn lại (không chứa đỉnh góc) lớn hơn nửa đường tròn, tức là 3 đỉnh nằm trong một nửa đường tròn mở. Đánh số 12 đỉnh theo chu vi. Với mỗi đỉnh làm 'đỉnh đầu', chọn 2 đỉnh trong 5 đỉnh kế tiếp (cung nhỏ hơn nửa đường tròn): C(5,2)=10 cách, mỗi tam giác tù đếm đúng một lần nên có 12·10=120 tam giác tù. Kiểm tra: tổng C(12,3)=220; tam giác vuông có 6 đường kính × 10 đỉnh thứ ba = 60; tam giác nhọn = 220−120−60=40, khớp công thức n(n−2)(n−4)/24 = 12·10·8/24 = 40. Vậy đáp số là 120.

(AI giải đề cho tôi)
a) Số có hai chữ số khác nhau: chữ số hàng chục có 7 cách (khác 0), hàng đơn vị có 7 cách (khác chữ số hàng chục, được phép 0): 7·7=49, không phải 56 → sai.
b) Số có ba chữ số đôi một khác nhau, chứa chữ số 2, chia hết cho 5: chữ số cuối là 0 hoặc 5. Nếu tận cùng 0: hai chữ số đầu chọn từ {1,2,3,4,5,6,7} chứa 2: 7·6−6·5=12. Nếu tận cùng 5: hai chữ số đầu từ {0,1,2,3,4,6,7} chứa 2: 12 cách, trừ trường hợp chữ số đầu là 0 (khi đó chữ số thứ hai phải là 2): 1 cách, còn 11. Tổng 12+11=23, không phải 22 → sai.
c) Số chẵn hai chữ số khác nhau: tận cùng 0 có 7 cách; tận cùng 2,4,6 mỗi trường hợp có 6 cách (chữ số đầu khác 0 và khác chữ số cuối): 7+3·6=25 → đúng.
d) Số tự nhiên có một chữ số lập từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 là 0,1,...,7: 8 số → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
7·7=49 ≠ 56.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tận cùng 0: 12 cách; tận cùng 5: 11 cách; tổng 23 ≠ 22.
c) (AI giải đề cho tôi)
7 + 3·6 = 25.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các số 0,1,2,3,4,5,6,7: 8 số.

(AI giải đề cho tôi)
Tô lần lượt 4 cạnh $AB,BC,CD,DA$ (các cạnh kề nhau phải khác màu).
- $AB$: 12 cách chọn màu.
- $BC$ kề $AB$: 11 cách.
- $CD$ kề $BC$: 11 cách, chia hai trường hợp:
+ $CD$ trùng màu $AB$ (1 cách): khi đó $DA$ kề $CD$ và $AB$ vốn cùng màu, nên $DA$ chỉ cần khác 1 màu: 11 cách.
+ $CD$ khác màu $AB$ (10 cách, vì $CD$ khác cả $BC$ và $AB$): khi đó $DA$ kề hai màu phân biệt $CD$ và $AB$: $12-2=10$ cách.
- Số cách chọn $CD$ và $DA$: $1\cdot 11+10\cdot 10=111$.
Tổng: $12\cdot 11\cdot 111=14652$ cách.
Kiểm tra: $12\cdot 11=132$; $132\cdot 111=14652$. Đáp số: $14652$ cách tô màu.

(AI giải đề cho tôi)
a) Số chẵn hai chữ số khác nhau: đơn vị 0 → 7 cách chọn hàng chục; đơn vị 2,4,6 → mỗi chữ 6 cách, tổng 7+3×6=25. Đúng. b) Số có ba chữ số đôi một khác nhau, chứa chữ số 2, chia hết cho 5: đơn vị 0 → chữ còn lại là 2 và một chữ từ {1,3,4,5,6,7} (6 cách), xếp 2! = 2 cách → 12 số; đơn vị 5 → bộ {0,2,5} cho 4 số (205, 250, 502, 520), các bộ {2,x,5} với x∈{1,3,4,6,7} cho 5×3!=30 số → 34 số. Tổng 12+34=46≠22. Sai. c) Số có hai chữ số khác nhau: hàng chục 7 cách (khác 0), hàng đơn vị 7 cách → 49≠56. Sai. d) Số có một chữ số: 0,1,2,3,4,5,6,7 → 8 số. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đơn vị 0: 7 cách; đơn vị 2,4,6: mỗi chữ 6 cách → 7+18=25. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đơn vị 0: 12 số; đơn vị 5: 34 số (bộ {0,2,5} cho 4 số, 5 bộ {2,x,5} cho 30 số). Tổng 46≠22. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
7×7=49≠56. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các số 0,1,2,3,4,5,6,7: 8 số. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi các cạnh lần lượt là AB, BC, CD, DA. Tô AB: 12 cách; BC phải khác AB: 11 cách; CD phải khác BC: 11 cách; DA phải khác cả CD và AB.
- Nếu AB = CD (12·11·1 = 132 cách cho AB, BC, CD): DA chỉ cần khác AB, có 11 cách → 132·11 = 1452 cách.
- Nếu AB ≠ CD (12·11·10 = 1320 cách): DA khác cả hai, có 10 cách → 1320·10 = 13200 cách.
Tổng: 1452 + 13200 = 14652 cách tô màu.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số cần lập là $\overline{abcd}$ với các chữ số đôi một khác nhau và $d$ chẵn. Trong tập $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ có 4 chữ số chẵn là $2,4,6,8$, nên $d$ có 4 cách chọn. Sau đó $a$ có 7 cách chọn (trừ $d$), $b$ có 6 cách chọn, $c$ có 5 cách chọn. Tổng số: $4\cdot 7\cdot 6\cdot 5=840$ số. Kết quả trùng với đáp án nguồn (840).

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 3 học sinh lớp B và 4 học sinh lớp C trước: có $3!\cdot 4!=144$ cách (hoặc xét 35 cách chọn vị trí lớp rồi nhân nhãn). Mỗi cách tạo ra 8 khoảng trống (gồm 2 đầu hàng). Đặt 2 học sinh lớp A vào các khoảng sao cho giữa chúng không có học sinh lớp B:
- Cả hai A cùng một khoảng: 8 cách (thứ tự 2 A đã tính trong $2!$).
- Hai A ở hai khoảng khác nhau $i<j$: giữa chúng chỉ toàn C, tức ứng với một run C liên tiếp độ dài $L$ có $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{L+1}{2}\right)$ cách chọn cặp khoảng.
Tổng số cặp khoảng hợp lệ (cùng khoảng + khác khoảng) trên tất cả 35 cấu hình lớp B/C là $35\cdot 8+224=504$ (trong đó 224 tính từ tổng $\sum \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{L+1}{2}\right)$ theo các phân tích 4 C thành các run giữa 3 B).
Vậy tổng cách xếp: $504\cdot 3!\cdot 4!\cdot 2!=504\cdot 144\cdot 2=145152$.
Kiểm tra: kết quả nhỏ hơn $9!=362880$, thỏa mãn, và trùng với đáp án nguồn 145152.

Đánh số các ô vuông trên bảng vuông 3x3 như sau.
Gọi $A_i$ ($i=1,2,4,5$) là tập các bảng vuông 3x3 chứa bảng màu đỏ 2x2 mà ô $i$ là ô trên cùng bên trái và A là tập các bảng vuông 3x3 thỏa đề bài. Ta có
$A=A_1\cup A_2\cup A_4\cup A_5$ nên
$n(A)=n\left(A_1\cup A_2\cup A_4\cup A_5\right)$
$=n\left(A_1\right)+n\left(A_2\right)+n\left(A_4\right)+n\left(A_5\right)-n\left(A_1\cap A_2\right)-n\left(A_1\cap A_4\right)-n\left(A_1\cap A_5\right)$
$-n\left(A_2\cap A_4\right)-n\left(A_2\cap A_5\right)-n\left(A_4\cap A_5\right)+n\left(A_1\cap A_2\cap A_4\right)+n\left(A_1\cap A_2\cap A_5\right)$
$+n\left(A_1\cap A_4\cap A_5\right)+n\left(A_2\cap A_4\cap A_5\right)-n\left(A_1\cap A_2\cap A_4\cap A_5\right)$
Ta có $n\left(A_i\right)=2^5$, do 5 ô còn lại, mỗi ô có hai cách tô màu xanh hoặc đỏ) với i=1,2,4,5.
$n\left(A_1\cap A_2\right)=n\left(A_1\cap A_4\right)=n\left(A_2\cap A_5\right)=n\left(A_4\cap A_5\right)=2^3$ và
$n\left(A_1\cap A_5\right)=n\left(A_2\cap A_4\right)=2^2$.
$n\left(A_1\cap A_2\cap A_4\right)=n\left(A_1\cap A_2\cap A_5\right)=n\left(A_1\cap A_4\cap A_5\right)=n\left(A_2\cap A_4\cap A_5\right)=2$.
$n\left(A_1\cap A_2\cap A_4\cap A_5\right)=1$.
Vậy $n(A)=4\times 2^5-\left(4\times 2^3+2\times 2^2\right)+4\times 2-1=95$.