Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ với đường cao kẻ từ $A$ và phân giác trong của góc $B$ lần lượt là $d_1:x-2y-2=0$, $d_2:x-y-1=0$. Biết $M(0;2)$ thuộc đường thẳng $AB$ và $AB=2BC$. Giả sử tam giác ABC có tọa độ đỉnh C(a;b), khi đó 2a+b bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao từ $A$ là $d_1:x-2y-2=0$ nên $BC\perp d_1$, suy ra $BC$ có hệ số góc $-2$. Phân giác trong góc $B$ là $d_2:x-y-1=0$, nên $B$ nằm trên $d_2$ và đường thẳng $AB$ là ảnh của đường thẳng $BC$ qua phép đối xứng trục $d_2$.

Gọi $B(t;t-1)$ trên $d_2$. Đường thẳng $BC$ qua $B$ có hệ số góc $-2$: $2x+y-3t+1=0$. Lấy điểm $(t+1;t-3)$ trên $BC$, đối xứng qua $d_2$ (phép đối xứng $(x;y)\mapsto (y+1;x-1)$) ta được $(t-2;t)$. Đường thẳng $AB$ qua $B(t;t-1)$ và $(t-2;t)$ có phương trình: $x+2y-3t+2=0$.

Vì $M(0;2)\in AB$: $0+4-3t+2=0\Rightarrow t=2$. Vậy $B(2;1)$, $AB:x+2y-4=0$, $BC:2x+y-5=0$.

$A$ là giao của $AB$ và $d_1$: thay $x=2y+2$ vào $x+2y-4=0$ được $y=\frac{1}{2}$, $x=3$, tức $A(3;\frac{1}{2})$.

$AB=\sqrt{(3-2{)}^2+(\frac{1}{2}-1{)}^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$. Vì $AB=2BC$ nên $BC=\frac{\sqrt{5}}{4}$.

Trên $BC$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-2)$ với $|\vec{u}|=\sqrt{5}$, nên $C=B\pm \frac{1}{4}(1;-2)$, tức $C(\frac{9}{4};\frac{1}{2})$ hoặc $C(\frac{7}{4};\frac{3}{2})$.

Kiểm tra điều kiện $d_2$ là phân giác **trong**: tại $B$, với $C(\frac{7}{4};\frac{3}{2})$, các vectơ $\overrightarrow{BA}=(1;-\frac{1}{2})$, $\overrightarrow{BC}=(-\frac{1}{4};\frac{1}{2})$; tổng hai vectơ đơn vị cùng hướng $\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}+\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}=\frac{(1;1)}{\sqrt{5}}$ cùng hướng với $d_2$ (vectơ $(1;1)$), nên $d_2$ là phân giác trong. Trường hợp $C(\frac{9}{4};\frac{1}{2})$ cho tổng $\frac{(3;-3)}{\sqrt{5}}$, tức $d_2$ là phân giác ngoài (loại).

Vậy $C(\frac{7}{4};\frac{3}{2})$, tức $a=\frac{7}{4}$, $b=\frac{3}{2}$, khi đó $2a+b=\frac{7}{2}+\frac{3}{2}=5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn.