Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d:x+2y+8=0$ và các điểm $A(1;2),B(-2;1),C(-5;3)$. Điểm $M(a;b)$ thuộc đường thẳng $d$ sao cho $P=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 5 (Mã 1102): a) Đường thẳng BC qua B(-2;1), C(-5;3) có VTCP (-3;2) nên PT: 2x+3y+1=0. Thay E(20;-14): 2·20+3·(-14)+1 = -1 ≠ 0, nên E không thuộc BC, do đó E không phải giao điểm của BC và d → SAI. b) P = 3·vec{MG} với G là trọng tâm tam giác ABC: G = ((1-2-5)/3; (2+1+3)/3) = (-2;2). P nhỏ nhất khi |MG| nhỏ nhất, tức M là hình chiếu của G lên d: x+2y+8=0. Thay G: -2+4+8=10, M = (-2;2) - (10/5)(1;2) = (-4;-2). Vậy a+b = -6 → ĐÚNG. c) Như trên, BC: 2x+3y+1=0 (thỏa cả B và C) → ĐÚNG. d) d(A, BC) = |2·1+3·2+1|/√13 = 9/√13 = 9√13/13 → ĐÚNG. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
BC: 2x+3y+1=0. Thay E(20;-14): 40-42+1=-1≠0 nên E không thuộc BC, do đó không phải giao điểm của BC và d.
b) (AI giải đề cho tôi)
P = 3vec{MG} với G(-2;2) trọng tâm tam giác ABC. P nhỏ nhất khi M là hình chiếu của G lên d: x+2y+8=0. Thay G được 10, M = (-2;2) - 2(1;2) = (-4;-2), nên a+b = -6.
c) (AI giải đề cho tôi)
BC qua B(-2;1), C(-5;3), VTCP (-3;2), PT: 2x+3y+1=0, kiểm tra B: -4+3+1=0, C: -10+9+1=0.
d) (AI giải đề cho tôi)
d(A,BC) = |2·1+3·2+1|/√(4+9) = 9/√13 = 9√13/13.