Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d:x+2y+8=0$ và các điểm $A(1;2),B(-2;1),C(-5;3)$. Điểm $M(a;b)$ thuộc đường thẳng d sao cho $P=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng ý: b) Vecto chỉ phương $BC=(-3;2)$ nên $BC$ có VTPT $(2;3)$, thay $B(-2;1)$: $-4+3+1=0$, thay $C(-5;3)$: $-10+9+1=0$, vậy $BC:2x+3y+1=0$ → đúng. a) $d(A,BC)=|2\cdot 1+3\cdot 2+1|/\sqrt{13}=9/\sqrt{13}=\frac{9\sqrt{13}}{13}$ → đúng. c) $P=3\cdot \overrightarrow{OM}-(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=3\cdot \overrightarrow{OM}-(-6;6)$, $|P|$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu của trọng tâm $G(-2;2)$ lên $d:x+2y+8=0$. Vì $x_G+2y_G+8=10$, ta có $M=G-(10/5)(1;2)=(-4;-2)$, nên $a+b=-6$ → đúng. d) $E(20;-14)$ thuộc $d$ ($20-28+8=0$) nhưng không thuộc $BC$ ($2\cdot 20+3\cdot (-14)+1=-1\ne 0$), nên $E$ không là giao điểm của $BC$ và $d$ → sai. Kết quả khớp đáp án nguồn (Đ, Đ, Đ, S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,BC)=|2\cdot 1+3\cdot 2+1|/\sqrt{13}=9/\sqrt{13}=\frac{9\sqrt{13}}{13}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$BC$ qua $B(-2;1)$, $C(-5;3)$ có VTPT $(2;3)$: $2x+3y+1=0$, thỏa cả $B$ và $C$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P=3\cdot \overrightarrow{OM}-(-6;6)$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu của $G(-2;2)$ trên $d$, tính được $M(-4;-2)$ nên $a+b=-6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$E(20;-14)$ thuộc $d$ nhưng $2\cdot 20+3\cdot (-14)+1=-1\ne 0$ nên $E$ không thuộc $BC$, do đó không là giao điểm của $BC$ và $d$.