Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Trên các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$, $P$ sao cho $\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB}$; $\overrightarrow{NA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}$ và $AP=\frac{4a}{15}$.

a) [Lý giải AI, không phải lời giải chính thức của nguồn] Từ $\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB}$ suy ra $3\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$, nên ${\left|\overrightarrow{AM}\right|}^2=\frac{1}{9}\left(4a^2+a^2+4\cdot \frac{a^2}{2}\right)=\frac{7a^2}{9}$, tức $\left|\overrightarrow{AM}\right|=\frac{a\sqrt{7}}{3}\ne \frac{a\sqrt{7}}{6}$. Vậy khẳng định a) SAI (phù hợp đáp án Mã 1103: a) S).
b) [Lý giải AI, không phải lời giải chính thức của nguồn] $3\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$; từ $\overrightarrow{NA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}$ suy ra $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$, và $\overrightarrow{AP}=\frac{4}{15}\overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{4}{15}\overrightarrow{AB}$. Khi đó $9\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{PN}=(2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot \left(\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{4}{15}\overrightarrow{AB}\right)=\frac{2}{3}\cdot \frac{a^2}{2}-\frac{8a^2}{15}+\frac{a^2}{3}-\frac{4}{15}\cdot \frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{3}+\frac{a^2}{3}-\frac{10a^2}{15}=0$. Vậy $AM\perp PN$, khẳng định b) ĐÚNG (phù hợp đáp án Mã 1103: b) Đ).
c) [Lý giải AI, không phải lời giải chính thức của nguồn] Tam giác $ABC$ đều nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }=a\cdot a\cdot \frac{1}{2}=\frac{a^2}{2}$. Khẳng định c) ĐÚNG (phù hợp đáp án Mã 1103: c) Đ).
d) [Lý giải AI, không phải lời giải chính thức của nguồn] Theo tính toán ở ý b), $\overrightarrow{PN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{4}{15}\overrightarrow{AB}$, khác với khẳng định d) của đề. Về mặt toán học d) SAI; tuy nhiên bảng đáp án chính thức Mã 1103 (trang 25) bị cắt, chỉ có hàng a), b), c) nên không có đáp án chính thức cho d).