Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ với đường cao kẻ từ $A$ và phân giác trong của góc $B$ lần lượt là $d_1:x-2y-2=0$, $d_2:x-y-1=0$. Biết $M(0;2)$ thuộc đường thẳng $AB$ và $AB=2BC$. Giả sử tam giác ABC có tọa độ đỉnh C(a;b), khi đó 2a+b bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Vì $d_2$ là phân giác trong góc $B$ nên $B\in d_2$; vì $d_1$ là đường cao kẻ từ $A$ nên $A\in d_1$ và $BC\perp d_1$. Gọi $B=(t;t-1)$ (trên $d_2$). Đường thẳng $BC$ đi qua $B$ và vuông góc $d_1$ có vecto chỉ phương $(1;-2)$, nên $C=(t+s;t-1-2s)$, suy ra $2a+b=2(t+s)+(t-1-2s)=3t-1$. Gọi $A=(2u+2;u)$ (trên $d_1$). Phản xạ của $A$ qua $d_2:x-y-1=0$ là $A^{\prime }=(u+1;2u+1)$; vì $d_2$ là phân giác trong tại $B$ nên $A^{\prime }$ thuộc đường thẳng $BC$. Điều kiện $A^{\prime },B$ thẳng hàng theo phương $(1;-2)$: $-2(u+1-t)=2u+2-t\Rightarrow 3t=4u+4\Rightarrow u=\frac{3t-4}{4}$. Điều kiện $A,M(0;2),B$ thẳng hàng: $(2u+2)(t-3)=t(u-2)\Rightarrow u(t-6)=6-4t$. Thay $u=\frac{3t-4}{4}$: $(3t-4)(t-6)=24-16t\Rightarrow 3t^2-6t=0\Rightarrow t=0$ hoặc $t=2$. Với $t=0$ thì $u=-1$, khi đó $A=(0;-1)=B$ (suy biến, loại). Vậy $t=2$, khi đó $2a+b=3(2)-1=5$ (không phụ thuộc dấu $s$; với $t=2$, $u=\frac{1}{2}$, $A=(3;\frac{1}{2})$, $A{B}^2=\frac{5}{4}$, $AB=2BC\Rightarrow B{C}^2=\frac{5}{16}\Rightarrow s=\pm \frac{1}{4}$, cho $C=(\frac{9}{4};-\frac{1}{2})$ hoặc $C=(\frac{7}{4};\frac{3}{2})$, đều thỏa mãn và $2a+b=5$).