Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ với $A(1;-2)$, đường cao $CH:x-y+1=0$, phân giác trong $BN:2x+y+5=0$. Diện tích của tam giác $ABC$ bằng $\frac{a}{b}$ $(a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast },\frac{a}{b}$ là phân số tối giản$)$. Tính $a.b$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao $CH:x-y+1=0$ có hệ số góc $1$, nên $AB\perp CH$ có hệ số góc $-1$. Đường thẳng $AB$ qua $A(1;-2)$: $y=-x-1\iff x+y+1=0$.

$B$ là giao của $AB$ và phân giác $BN:2x+y+5=0$: thay $y=-x-1$ ta được $2x-x-1+5=0\Rightarrow x=-4$, $y=3$. Vậy $B(-4;3)$, $AB=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}$.

Phân giác trong $BN$ là trục đối xứng giữa tia $BA$ và tia $BC$, nên phản xạ của $A$ qua $BN$, gọi là $A^{\prime }$, nằm trên đường thẳng $BC$. Khoảng cách có dấu của $A$ tới $BN$: $\frac{2(1)+(-2)+5}{5}=1$. Chân đường vuông góc: $(1;-2)-1\cdot (2;1)=(-1;-3)$, nên $A^{\prime }=2(-1;-3)-(1;-2)=(-3;-4)$.

Đường thẳng $BC$ qua $B(-4;3)$ và $A^{\prime }(-3;-4)$: hệ số góc $\frac{-4-3}{-3+4}=-7$, phương trình $y=-7x-25$.

$C$ thuộc $CH$: $y=x+1$, giải $x+1=-7x-25\Rightarrow x=-\frac{13}{4}$, $C\left(-\frac{13}{4};-\frac{9}{4}\right)$.

Chiều cao từ $C$ xuống $AB$: $d(C,AB)=\frac{\left|-\frac{13}{4}-\frac{9}{4}+1\right|}{\sqrt{2}}=\frac{9}{2\sqrt{2}}$.

Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 5\sqrt{2}\cdot \frac{9}{2\sqrt{2}}=\frac{45}{4}$. Vậy $a=45$, $b=4$, $a\cdot b=180$, khớp đáp án nguồn.