Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ với $A(1;-2)$, đường cao $CH:x-y+1=0$, phân giác trong $BN:2x+y+5=0$. Diện tích của tam giác $ABC$ bằng $\frac{a}{b}$ $(a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast },\frac{a}{b}$ là phân số tối giản$)$. Tính $ab$.

Đường cao $CH:x-y+1=0$ nên có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;-1)$.
Ta có $AB\perp CH:x-y+1=0\Rightarrow AB:x+y+c=0$,
Lại có $AB$ qua $A(1;-2)\Rightarrow c=1$. Vậy phương trình đường thẳng $AB:x+y+1=0$.

Kẻ $AI\perp BN:2x+y+5=0\Rightarrow AI:x-2y+m=0$, $AI$ qua $A(1;-2)\Rightarrow m=-5$.

Suy ra $AI:x-2y-5=0$.

Ta có $I=AI\cap BN\Rightarrow$ Tọa độ điểm $I$ là nghiệm của hệ $\{\begin{array}{l}x-2y-5=0\\ 2x+y+5=0\end{array}\Rightarrow I(-1;-3)$.

Phương trình đường thẳng $AB:x+y+1=0$.

Ta có $B=AB\cap BN$ nên tọa độ $B$ là nghiệm của hệ $\{\begin{array}{l}x+y+1=0\\ 2x+y+5=0\end{array}\Rightarrow B(-4;3)$.

Gọi $A^{\prime }$ là điểm đối xứng của $A$ qua $BN$ (ta có $I$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$ và $A^{\prime }\in BC$)

$I$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }\Rightarrow A^{\prime }(-3;-4)$.

Đường $BC$ qua $B(-4;3)$ nhận $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(-1;7)$ làm VTCP có dạng $\frac{x+4}{-1}=\frac{y-3}{7}\iff 7x+y+25=0$.

Ta có $C=BC\cap CH\Rightarrow$ Tọa độ điểm $C$ là nghiệm của hệ $\{\begin{array}{l}7x+y+25=0\\ x-y+1=0\end{array}\Rightarrow C\left(\frac{-13}{4};\frac{-9}{4}\right)$.



Ta có $S_{△ABC}=\frac{1}{2}.BC.d(A,BC)=\frac{1}{2}.\frac{15\sqrt{2}}{4}.\frac{\left|7.1-2+25\right|}{\sqrt{49+1}}=\frac{45}{4}$ (đvdt). Vậy $\frac{a}{b}=\frac{45}{4}\Rightarrow ab=180$