Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Trên các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$, $P$ sao cho $\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB};\overrightarrow{NA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}$ và $AP=\frac{4a}{15}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC đều cạnh a. a) AB·AC = a·a·cos60° = a²/2 → đúng. b) N chia CA với CN:NA = 2:1 nên AN = (1/3)AC; AP = (4/15)AB. PN = AN − AP = (1/3)AC − (4/15)AB ≠ (4/15)AC − (1/3)AB → sai. c) AM = AB + BM = AB + (1/3)BC = (2/3)AB + (1/3)AC. AM·PN = [(2/3)AB + (1/3)AC]·[(1/3)AC − (4/15)AB] = (2/9 − 4/45)(a²/2) − 8a²/45 + a²/9 = a²/15 − 8a²/45 + 5a²/45 = 0 → AM ⊥ PN, đúng. d) |AM|² = (4/9)a² + (1/9)a² + 2·(2/3)(1/3)(a²/2) = 7a²/9 nên |AM| = a√7/3 ≠ a√7/6 → sai. Khớp đáp án nguồn (Mã 1102, Câu 8: a Đ, b S, c Đ, d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
AB·AC = |AB||AC|cos60° = a²·(1/2) = a²/2.
b) (AI giải đề cho tôi)
AN = (1/3)AC, AP = (4/15)AB nên PN = AN − AP = (1/3)AC − (4/15)AB, khác khẳng định đề.
c) (AI giải đề cho tôi)
AM = (2/3)AB + (1/3)AC; AM·PN = 0 nên AM ⊥ PN.
d) (AI giải đề cho tôi)
|AM|² = 7a²/9 nên |AM| = a√7/3, không phải a√7/6.