Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện trên đất liền ở vị trí $A$ đến một hòn đảo ở vị trí $D$. Khoảng cách ngắn nhất từ $D$ vào đất liền là $DC=2km$. Khoảng cách từ $A$ đến $C$ là $5km$. Người ta chọn một vị trí (điểm $B$) nằm giữa $A$ và $C$ để mắc đường dây điện từ $A$ đến $B$, rồi từ $B$ đến $D$. Chi phí mắc mỗi $km$ dây điện trên đất liền là $3000USD$, chi phí mắc mỗi $km$ dây điện ngầm dưới biển là $5000USD$. Tổng chi phí mắc dây điện nối từ vị trí $A$ đến vị trí $D$ theo cách trên là $23000USD$. Giả sử $AB=x(km)$ với $0<x<5$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $B$ nằm giữa $A$ và $C$ với $AC=5$ km, $AB=x$ nên $BC=5-x$ (km) → a) Đúng. Tam giác $BCD$ vuông tại $C$ có $BC=5-x$, $CD=2$ nên $BD=\sqrt{(5-x{)}^2+4}=\sqrt{x^2-10x+29}$ (km). Chi phí dây dưới biển: $5000\sqrt{x^2-10x+29}$ (USD) → c) Đúng. Chi phí trên đất liền: $3000x$ (USD), tổng chi phí $23000$ USD nên $3000x+5000\sqrt{x^2-10x+29}=23000$ → d) Đúng. Giải: $3x+5\sqrt{(x-5{)}^2+4}=23$. Thử $x=3,5$: $\sqrt{(-1,5{)}^2+4}=\sqrt{6,25}=2,5$, khi đó $3(3,5)+5(2,5)=10,5+12,5=23$ thỏa mãn (và $0<3,5<5$). Vậy $B$ cách $A$ là $3,5$ km → b) Đúng. Cả bốn ý đều đúng, phù hợp đáp án chính thức (Mã 1102, Câu 3: a Đ, b Đ, c Đ, d Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $B$ nằm giữa $A$ và $C$, $AC=5$ km, $AB=x$ km nên $BC=AC-AB=5-x$ (km).
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $3000x+5000\sqrt{x^2-10x+29}=23000$, thử $x=3,5$: $\sqrt{12,25-35+29}=\sqrt{6,25}=2,5$; kiểm tra $3000(3,5)+5000(2,5)=10500+12500=23000$ thỏa mãn với $0<3,5<5$. Vậy $AB=3,5$ km.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác $BCD$ vuông tại $C$: $BD=\sqrt{B{C}^2+C{D}^2}=\sqrt{(5-x{)}^2+2^2}=\sqrt{x^2-10x+29}$ (km). Chi phí dưới biển $=5000\sqrt{x^2-10x+29}$ (USD).
d) (AI giải đề cho tôi)
Chi phí trên đất liền $3000x$ (USD), dưới biển $5000\sqrt{x^2-10x+29}$ (USD), tổng bằng $23000$ USD nên $3000x+5000\sqrt{x^2-10x+29}=23000$.