(5.0 điểm)
a. Cho tam giác $ABC$ có độ dài ba cạnh $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$; $\hat{A}=60^0$ và $\frac{b-c}{a+c}=2\left(\cos B-1\right)$. Tính số đo góc $C$ của tam giác $ABC$.
b. Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, điểm $M$ nằm trên đoạn thẳng $AC$ sao cho $AM=xAC$ $(0<x<1)$. Gọi $N$ là trung điểm của đoạn $DC$. Tìm $x$ để tam giác $BMN$ vuông cân tại $M$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 5a: Theo định lí cosin, với $\hat{A}=60^0$ ta có $a^2=b^2+c^2-2bc\cos 60^0=b^2+c^2-bc$.
Tính $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{(b^2+c^2-bc)+c^2-b^2}{2ac}=\frac{c(2c-b)}{2ac}=\frac{2c-b}{2a}$.
Thế vào giả thiết: $\frac{b-c}{a+c}=2\left(\frac{2c-b}{2a}-1\right)=\frac{2c-b-2a}{a}$.
Suy ra $a(b-c)=(a+c)(2c-b-2a)=-ab-2a^2+2c^2-bc$, tức $2ab-ac+2a^2+bc-2c^2=0$.
Thay $a^2=b^2+c^2-bc$: $2ab-ac+2b^2-bc=0\iff 2b(a+b)=c(a+b)\iff c=2b$ (vì $a+b>0$).
Khi đó $\frac{\sin C}{\sin B}=\frac{c}{b}=2$, mà $C=120^0-B$ nên $\sin (120^0-B)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos B+\frac{1}{2}\sin B=2\sin B\Rightarrow \tan B=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow B=30^0$.
Vậy $C=120^0-30^0=90^0$. Kiểm tra: tam giác $30^0-60^0-90^0$ có $c=2b$, $\cos B=\frac{\sqrt{3}}{2}$, hai vế đều bằng $\sqrt{3}-2$: thỏa mãn.

Câu 5b: Chọn hệ trục $A(0;0),B(a;0),C(a;a),D(0;a)$. Khi đó $M(xa;xa)$, $N\left(\frac{a}{2};a\right)$.
$\overrightarrow{MB}=(a(1-x);-xa)$, $\overrightarrow{MN}=(a(\frac{1}{2}-x);a(1-x))$.
Tam giác $BMN$ vuông cân tại $M$ khi $\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MN}=0$ và $MB=MN$.
• $\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MN}=a^2[(1-x)(\frac{1}{2}-x)-x(1-x)]=a^2(1-x)(\frac{1}{2}-2x)=0\iff x=\frac{1}{4}$ (do $0<x<1$).
• Với $x=\frac{1}{4}$: $M{B}^2=a^2\left(\frac{9}{16}+\frac{1}{16}\right)=\frac{10a^2}{16}$; $M{N}^2=a^2\left(\frac{1}{16}+\frac{9}{16}\right)=\frac{10a^2}{16}$, nên $MB=MN$.
Vậy $x=\frac{1}{4}$.