(5.0 điểm)
a. Cho tam giác $ABC$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $E$ sao cho $5\overrightarrow{BE}=3\overrightarrow{BC}$ và điểm $F$ thoả mãn $4\overrightarrow{FA}+2\overrightarrow{EB}+3\overrightarrow{EC}=\vec{0}$. Chứng minh ba điểm $A$, $E$, $F$ thẳng hàng và tính tỉ số $\frac{AE}{AF}$.
b. Cho tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh là $AB=5$, $BC=6$, $CA=7$. Gọi $N$ là trung điểm của đoạn $BC$, $M$ là điểm thoả mãn $\left|3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|$. Tìm giá trị lớn nhất của đoạn thẳng $MN$.

(1,0 điểm) Cho tam giác $ABC$.
a) Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Biểu thị vectơ $\overrightarrow{AG}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.
b) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, giả sử tam giác $ABC$ có $A(2;0)$, $B(1;1)$, $C(-2;3)$. Tìm tọa độ của hai vectơ $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BC}$ và tọa độ của điểm $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

Cho hình chữ nhật $ABCD$, $I$ và $K$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $CD$. Hệ thức nào sau đây đúng?

Một chiếc ô tô Hyundai Grand i10 được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật $ABCD$, mặt phẳng $(ABCD)$ song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc $E$ của chiếc cần cầu sao cho các đoạn dây cáp $EA,EB,EC,ED$ có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc bằng $45^{\circ }$. Chiếc cần cầu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Biết khối lượng chiếc xe ô tô Hyundai grand i10 là 1051 kg và trọng lượng khung sắt là 2490N; cường độ các lực căng $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{F_4}$ là bằng nhau. Biết $\vec{P}=m.\vec{g}$ trong đó $\vec{g}$ là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn $10m/s^2$, $\vec{P}$ là trọng lực tác động lên vật có đơn vị là $N$, $m$ là khối lượng của vật có đơn vị kg. Khi đó, cường độ lực căng $\overrightarrow{F_1}$ (làm tròn đến hàng đơn vị) bằng bao nhiêu?

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với $G$ là trọng tâm của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Đặt $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a},\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AC}=\vec{c}$. Khi đó

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$, $P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA$ và $SC$. Điểm $N$ thuộc cạnh $SB$ sao cho $\frac{SN}{SB}=\frac{2}{3}$. Gọi $Q$ là giao điểm của cạnh $SD$ và mặt phẳng $(MNP)$. Tỷ số $\frac{SQ}{SD}=\frac{a}{5}$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $SB$, $SD$, $OC$. Mặt phẳng $(MNP)$ cắt $SA$ tại điểm $I$. Biết tỉ số $\frac{IS}{IA}=\frac{m}{n}$ với $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức $T=4m+11n+2025$.