Cho hình chữ nhật $ABCD$, $I$ và $K$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $CD$. Hệ thức nào sau đây đúng?

Một chiếc ô tô Hyundai Grand i10 được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật $ABCD$, mặt phẳng $(ABCD)$ song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc $E$ của chiếc cần cầu sao cho các đoạn dây cáp $EA,EB,EC,ED$ có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc bằng $45^{\circ }$. Chiếc cần cầu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Biết khối lượng chiếc xe ô tô Hyundai grand i10 là 1051 kg và trọng lượng khung sắt là 2490N; cường độ các lực căng $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{F_4}$ là bằng nhau. Biết $\vec{P}=m.\vec{g}$ trong đó $\vec{g}$ là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn $10m/s^2$, $\vec{P}$ là trọng lực tác động lên vật có đơn vị là $N$, $m$ là khối lượng của vật có đơn vị kg. Khi đó, cường độ lực căng $\overrightarrow{F_1}$ (làm tròn đến hàng đơn vị) bằng bao nhiêu?

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với $G$ là trọng tâm của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Đặt $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a},\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AC}=\vec{c}$. Khi đó

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$, $P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA$ và $SC$. Điểm $N$ thuộc cạnh $SB$ sao cho $\frac{SN}{SB}=\frac{2}{3}$. Gọi $Q$ là giao điểm của cạnh $SD$ và mặt phẳng $(MNP)$. Tỷ số $\frac{SQ}{SD}=\frac{a}{5}$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $SB$, $SD$, $OC$. Mặt phẳng $(MNP)$ cắt $SA$ tại điểm $I$. Biết tỉ số $\frac{IS}{IA}=\frac{m}{n}$ với $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức $T=4m+11n+2025$.

Cho đoạn $AB=40$. Tồn tại điểm $M$ sao cho $T=3M{A}^2+5M{B}^2$ đạt giá trị bé nhất $T_{\min }$. Tính giá trị $T_{\min }$?

Cho 2 điểm A, B cố định như hình vẽ. Biểu diễn điểm K sao cho: $\overrightarrow{KA}-3\overrightarrow{KB}=\vec{0}$. (Vẽ và giải thích).