Cho đoạn $AB=40$. Tồn tại điểm $M$ sao cho $T=3M{A}^2+5M{B}^2$ đạt giá trị bé nhất $T_{\min }$. Tính giá trị $T_{\min }$?

Lời giải:
Gọi điểm $I$ thỏa mãn $3\overrightarrow{IA}+5\overrightarrow{IB}=\vec{0}$

$\iff 3\overrightarrow{IA}+5\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}\right)=\vec{0}\iff 8\overrightarrow{IA}+5\overrightarrow{AB}=\vec{0}\iff \overrightarrow{AI}=\frac{5}{8}\overrightarrow{AB}$.

Vậy điểm $I$ thuộc đoạn $AB$ và $IA=\frac{5}{8}\cdot AB=\frac{5}{8}\cdot 40=25$, $IB=15$.

Ta có $T=3M{A}^2+5M{B}^2=3{\overrightarrow{MA}}^2+5{\overrightarrow{MB}}^2=3{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)}^2+5{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)}^2$

$=8M{I}^2+3I{A}^2+5I{B}^2+2\overrightarrow{MI}\left(\underset{\vec{0}}{\underbrace{3\overrightarrow{IA}+5\overrightarrow{IB}}}\right)=8M{I}^2+3I{A}^2+5I{B}^2$. (0,25)

Ta có $\left(3I{A}^2+5I{B}^2\right)$ là hằng số do ba điểm $A,B,I$ cố định.

Do đó: $T$ đạt giá trị nhỏ nhất $\iff 8M{I}^2$ nhỏ nhất $\iff MI$ bé nhất $\iff$ Điểm $M$ trùng với điểm $I$.

Khi đó giá trị $T$ nhỏ nhất là: $T_{\min }=3I{A}^2+5I{B}^2=3\cdot 25^2+5\cdot 15^2=3000$. (0,25)