Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa trọng lực $\vec{P}$ (hướng thẳng đứng xuống) và độ dịch chuyển $\vec{d}$ (dọc dốc, lệch phương ngang $5^{\circ }$) là $90^{\circ }-5^{\circ }=85^{\circ }$. Khối lượng $m=1,5$ tấn $=1500$ kg, $|\vec{P}|=mg=1500\cdot 9,8=14700$ N. Công: $A=\vec{P}\cdot \vec{d}=|\vec{P}||\vec{d}|\cos 85^{\circ }=14700\cdot 30\cdot \sin 5^{\circ }\approx 441000\cdot 0,0871557\approx 38435,7$ J $\approx 38,4$ kJ.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ có 4 đỉnh. Vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh phân biệt: chọn điểm đầu có 4 cách, chọn điểm cuối khác điểm đầu có 3 cách, nên có $4\times 3=12$ vectơ. Cụ thể gồm 4 cạnh với 2 chiều mỗi cạnh ($\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DA},\overrightarrow{AD}$) và 2 đường chéo với 2 chiều mỗi đường chéo ($\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{DB}$), tổng cộng 12 vectơ. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm đầu là $A$ cố định, điểm cuối là một trong 5 điểm $A,B,C,D,E$. Loại trường hợp điểm cuối là $A$ vì $\overrightarrow{AA}$ là vectơ-không. Vậy có $5-1=4$ vectơ khác vectơ-không: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$, các cạnh và đường chéo song song với $AB$ theo cùng chiều là: $\overrightarrow{FO}$ (vì $FO\parallel AB$, cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$, độ dài bằng cạnh), $\overrightarrow{OC}$ (vì $OC\parallel AB$ cùng hướng, độ dài bằng cạnh), $\overrightarrow{ED}$ (vì $ED\parallel AB$ cùng hướng, độ dài bằng cạnh). Còn $\overrightarrow{FD}$ nằm trên đường chéo $FD$ đi qua tâm, không song song với $AB$ nên không bằng $\overrightarrow{AB}$. Vậy các vectơ bằng $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{FO},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{ED}$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$, ta có $C$, $O$, $F$ thẳng hàng nên vectơ $\overrightarrow{OC}$ có phương trùng với đường thẳng $CF$. Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác và cùng phương với $\overrightarrow{OC}$ là: cặp $(C,F)$ cho $\overrightarrow{CF}$, $\overrightarrow{FC}$; cặp $(A,B)$ cho $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BA}$ (vì $AB\parallel CF$); cặp $(D,E)$ cho $\overrightarrow{DE}$, $\overrightarrow{ED}$ (vì $DE\parallel CF$). Tổng cộng có 6 vectơ khác vectơ-không cùng phương với $\overrightarrow{OC}$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
a) $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC$ nên $MN$ là đường trung bình của hình thang, do đó $MN\parallel CD$ (và $MN\parallel AB$). Mệnh đề đúng.

b), d) Các vecto khác $\vec{0}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ mà giá không trùng với đường thẳng $AB$ phải nằm trên các đường thẳng song song với $AB$ trong hình: đường thẳng $CD$ (vì $CD$ là đáy nên $CD\parallel AB$) cho các vecto $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DC}$; đường thẳng $MN$ (đường trung bình, $MN\parallel AB$) cho các vecto $\overrightarrow{MN},\overrightarrow{NM}$. Tổng cộng có đúng 4 vecto. Vậy b) đúng, d) sai.

c) Vecto cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ (giá không trùng $AB$): trong 4 vecto trên, $\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{NM}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$, chỉ còn $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng, tức là 2 vecto chứ không phải 3. Mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$MN$ là đường trung bình của hình thang nên $MN\parallel CD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Các vecto cần tìm: $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DC}$ (trên đường $CD$) và $\overrightarrow{MN},\overrightarrow{NM}$ (trên đường $MN$) — đúng 4 vecto.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ có $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng $\overrightarrow{AB}$, tức 2 vecto chứ không phải 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ có 4 vecto như ở ý b), không phải 5.

(AI giải đề cho tôi)
Đây là định lý quen thuộc: hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân (và ngược lại, hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau).
a) Đúng: giả thiết cho $|AC|=|BD|$, tức hai đường chéo $AC$ và $BD$ có độ dài bằng nhau.
b) Đúng: hình thang $ABCD$ có hai đường chéo $AC=BD$ thì là hình thang cân (định lý).
c) Sai: vì $ABCD$ là hình thang cân nên hai cạnh bên $AD$ và $BC$ có độ dài bằng nhau (điều này cũng khớp với kết luận $|BC|=|AD|$ của giả thiết).
d) Đúng: đây là định lý đảo — hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân, mà hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau, nên nếu $|BC|=|AD|$ thì $|AC|=|BD|$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giả thiết cho $|AC|=|BD|$ nên hai đường chéo có độ dài bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
c) (AI giải đề cho tôi)
$ABCD$ là hình thang cân nên hai cạnh bên $AD$ và $BC$ bằng nhau, không phải khác nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
Định lý đảo: hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân, do đó hai đường chéo bằng nhau, tức $|AC|=|BD|$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ với gốc $D$: đặt $\vec{u}=\overrightarrow{DA}$, $\vec{v}=\overrightarrow{DC}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\vec{v}$, do đó $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\vec{u}+\vec{v}$.

Vì $N$ là trung điểm $DC$ nên $\overrightarrow{DN}=\frac{1}{2}\vec{v}$; vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AM}=\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}$.

Tìm điểm $E$: $E$ nằm trên $BD$ nên $\overrightarrow{DE}=t(\vec{u}+\vec{v})$ với $0<t<1$. Đồng thời $E$ nằm trên $AN$ nên $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}+s\overrightarrow{AN}=(1-s)\vec{u}+\frac{s}{2}\vec{v}$. So sánh hệ số (vì $\vec{u},\vec{v}$ không cùng phương): $t=1-s$ và $t=\frac{s}{2}$. Suy ra $s=2t$ và $t=1-2t$, tức $t=\frac{1}{3}$. Vậy $\overrightarrow{DE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}$.

Tìm điểm $F$: $F$ nằm trên $BD$ nên $\overrightarrow{DF}=t^{\prime }(\vec{u}+\vec{v})$. Đồng thời $F$ nằm trên $CM$: $\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DC}+r\overrightarrow{CM}=r\vec{u}+\left(1-\frac{r}{2}\right)\vec{v}$. So sánh hệ số: $t^{\prime }=r$ và $t^{\prime }=1-\frac{r}{2}$, suy ra $r=\frac{2}{3}$, vậy $t^{\prime }=\frac{2}{3}$. Do đó $\overrightarrow{DF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DB}$.

Khi đó: $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DF}-\overrightarrow{DE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}$ và $\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}$.

Vậy $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{FB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}$, điều phải chứng minh. (Nhận xét: vì $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CN}$ nên $AMCN$ cũng là hình bình hành, tức $AN\parallel CM$, phù hợp với kết quả $E,F$ chia $BD$ thành ba phần bằng nhau.)

(AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABGE$ có thứ tự đỉnh $A\to B\to G\to E$, nên $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{EG}=-\overrightarrow{GE}$. Vì $ABGE$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EG}$ (hai cạnh đối song song và cùng chiều theo thứ tự đỉnh), do đó $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{GE}$... xét lại: $\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{BA}$ vì cả hai đều bằng $-\overrightarrow{AB}$. Vậy đẳng thức đúng là $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{EG}$ (đáp án A). Các đáp án B, C, D sai vì $\overrightarrow{AG}$ và $\overrightarrow{BE}$ là hai vectơ đối nhau ($\overrightarrow{AG}=-\overrightarrow{BE}$), còn $\overrightarrow{GE}=\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{BA}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ có điểm đầu $D$, điểm cuối $E$ được kí hiệu là $\overline{DE}$ (mũi tên hướng từ $D$ đến $E$). Phương án A chỉ là đoạn thẳng $DE$, B là độ dài vectơ, C là vectơ ngược chiều. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp lại: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}=\vec{0}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$. Do đó $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{IB}$ (quy tắc ba điểm). Vậy khẳng định A đúng. Kiểm tra các phương án khác: B sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$; C sai vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{IB}$; D sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{IB}\ne \overrightarrow{BI}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$ và $\overrightarrow{DC}=\vec{c}-\vec{d}$, suy ra $\vec{b}-\vec{a}=\vec{c}-\vec{d}$, tức $\vec{a}+\vec{c}=\vec{b}+\vec{d}$. Vậy khẳng định đúng là phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ nên $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}+\overrightarrow{O{C}^{\prime }}=2\overrightarrow{O{O}^{\prime }}$ (quy tắc trung điểm với $O$ là trung điểm $AC$ và $O^{\prime }$ là trung điểm $A^{\prime }{C}^{\prime }$). Tương tự $\overrightarrow{O{B}^{\prime }}+\overrightarrow{O{D}^{\prime }}=2\overrightarrow{O{O}^{\prime }}$. Do đó $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}+\overrightarrow{O{B}^{\prime }}+\overrightarrow{O{C}^{\prime }}+\overrightarrow{O{D}^{\prime }}=4\overrightarrow{O{O}^{\prime }}$. Vì $O{O}^{\prime }=A{A}^{\prime }=a$ nên độ dài vectơ bằng $4a$. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong lăng trụ tứ giác đều, các cạnh bên song song và bằng nhau nên $\overrightarrow{C^{\prime }C}=-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ (hai vectơ ngược hướng, cùng độ dài 2). Do đó $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{C^{\prime }C}=-|\overrightarrow{A{A}^{\prime }}{|}^2=-2^2=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $P$ trung điểm $AB$: $\overrightarrow{PB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$... Cách tính trực tiếp: $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CQ}$ không tiện; dùng trung điểm: $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right)$ (tính chất trung điểm hai cạnh trong tam giác/ba điểm). Cụ thể: $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DQ}$ với $\overrightarrow{PA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{DQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$, nên $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC})+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\right)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hợp lực của $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ nằm trong mặt phẳng của hai lực này: $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}{|}^2=9^2+4^2+2\cdot 9\cdot 4\cos 110^{\circ }=97+72\cos 110^{\circ }\approx 97-24,62=72,38$. Vì $\overrightarrow{F_3}$ vuông góc với mặt phẳng chứa $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ nên vuông góc với hợp lực $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$, do đó $a^2=72,38+7^2=121,38$, suy ra $a=\sqrt{121,38}\approx 11,02$ N.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng mệnh đề bằng phép tính vectơ:
- A: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, còn $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CA}$. Vì $\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{CA}$ nên A sai.
- B: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}$, còn $\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CD}$. Vì $\overrightarrow{DC}\ne \overrightarrow{CD}$ nên B sai.
- C: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CB}$. Hai vế bằng nhau, mệnh đề đúng.
- D: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$, còn $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BD}$. Vì $\overrightarrow{DB}\ne \overrightarrow{BD}$ nên D sai.
Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}\right)=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$. Suy ra $\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{DC}$. Vậy $BN\parallel DC$ và $BN=DC$, do đó tứ giác $BCDN$ là hình bình hành (vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{ND}$ cũng thỏa mãn). Kiểm tra các phương án khác: $N$ không phải trung điểm $BD$ (khi đó $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$), không phải $N\equiv A$ (vì $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{DC}\ne \vec{0}$ nói chung). Vậy $N$ là đỉnh hình bình hành $BCDN$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{F_3}$ vuông góc với mặt phẳng chứa $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ nên $\overrightarrow{F_3}\perp \overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_3}\perp \overrightarrow{F_2}$, do đó $\overrightarrow{F_3}\perp (\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})$. Ta có $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}{|}^2=|\overrightarrow{F_1}{|}^2+|\overrightarrow{F_2}{|}^2+2\overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{F_2}=9^2+4^2+2\cdot 9\cdot 4\cos 110^{\circ }=97+72\cos 110^{\circ }\approx 97-24.62=72.38$. Suy ra $a^2=|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}{|}^2=72.38+7^2=121.38$, nên $a\approx \sqrt{121.38}\approx 11.02$ (N).