Cho hình lăng trụ tứ giác đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{C^{\prime }C}$.

a) Cho tứ diện đều $ABCD$, $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tính cosin góc tạo bởi hai véc tơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DM}$.

b) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$, $M$ là điểm thay đổi trên $SO$. Tỉ số $\frac{SM}{SO}$ sao cho $P=M{S}^2+M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2+M{D}^2$ nhỏ nhất là bao nhiêu?

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(0;2;1)$ và $B(3;-2;1)$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vecto $\vec{u}=(1;1;-2)$, $\vec{v}=(1;0;m)$. Giá trị của tham số $m$ (làm tròn đến hàng phần trăm) để góc giữa $\vec{u}$, $\vec{v}$ bằng $45^{\circ }$ là bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;-1;0)$, $B(-2;5;3)$, $C(3;4;9)$.

Một chiếc máy bay không người lái bay lên tại một điểm. Sau một thời gian chiếc máy bay cách điểm xuất phát về phía Bắc 30 (km) và phía Tây 40 (km), đồng thời cách mặt đất 1,5 (km). Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$, với gốc đặt tại điểm xuất phát của chiếc máy bay, mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía Bắc, trục $Oy$ hướng về phía Tây, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét. Tính khoảng cách từ điểm xuất phát đến vị trí của máy bay (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).