Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phép toán vectơ không gian (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc hình bình hành trên đáy $ABCD$). Vì $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}$. Do đó tổng bằng $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AC}$. Kiểm tra các phương án: A sai, B sai, D sai vì $2\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}$ hướng ngược chiều. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(1;0;-3)$, $\overrightarrow{AC}=(x+3;y-1;-4)$. Thẳng hàng nên $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$: từ tung độ $y-1=0\Rightarrow y=1$; từ cao độ $-4=-3k\Rightarrow k=\frac{4}{3}$, suy ra $x+3=\frac{4}{3}\Rightarrow x=-\frac{5}{3}$. Vậy $x+y=-\frac{5}{3}+1=-\frac{2}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương, $\overrightarrow{CD}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$, do đó mệnh đề C sai. Các mệnh đề A, B, D đều đúng: độ dài hai vectơ bằng nhau; tổng ba vectơ cạnh xuất phát từ A cho vectơ đường chéo $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$; và $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ theo quy tắc hình bình hành.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định: A đúng vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. B đúng vì $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$ (quy tắc trừ vectơ). D đúng vì $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$ (quy tắc ba điểm). C sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (đường chéo hình vuông ABCD), còn $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$, nên $\overrightarrow{BD}\ne \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. Khẳng định sai là C, khớp đáp án chính thức mã đề 101 (Câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}=2\vec{i}+3(\vec{i}-2\vec{k})+4\vec{j}=2\vec{i}+3\vec{i}-6\vec{k}+4\vec{j}=5\vec{i}+4\vec{j}-6\vec{k}$. Vậy tọa độ của $\vec{a}$ là $(5;4;-6)$. Kết quả trùng với đáp án B trong đề và bảng đáp án mã đề 1062 (câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trừ từng thành phần: $\vec{u}-\vec{v}=(1-2;3-1;-2-(-1))=(-1;2;-1)$. Kết quả khớp với đáp án A và bảng đáp án mã đề 1061 (Câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=B-A=(3-2;2-(-3);5-1)=(1;5;4)$ → đúng. b) $OA=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}$, $OB=\sqrt{9+4+25}=\sqrt{38}$, nên $OA<OB$ → đúng. c) Trung điểm $AB$ là $\left(\frac{2+3}{2};\frac{-3+2}{2};\frac{1+5}{2}\right)=\left(\frac{5}{2};-\frac{1}{2};3\right)\ne \left(\frac{5}{2};\frac{1}{2};2\right)$ → sai. d) $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=2\cdot 3+(-3)\cdot 2+1\cdot 5=6-6+5=5>0$ nên $\cos \widehat{AOB}>0$, góc nhọn, không phải góc tù → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(3-2;2-(-3);5-1)=(1;5;4)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$OA=\sqrt{14}<OB=\sqrt{38}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm là $\left(\frac{5}{2};-\frac{1}{2};3\right)$, khác $\left(\frac{5}{2};\frac{1}{2};2\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=5>0$ nên góc $\widehat{AOB}$ nhọn.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, đáy ABCD có A (sau trái), B (trước trái), C (trước phải), D (sau phải). a) $\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}$ cùng hướng từ trước ra sau, cùng độ dài $a$ nên bằng nhau → Đúng. b) $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{D{B}^{\prime }}\ne \overrightarrow{CA}$ (vì $\overrightarrow{CA}=-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$) → Sai. c) $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, góc với $\overrightarrow{AB}$ là góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AB}$ trong hình vuông ABCD bằng $45^{\circ }$ → Đúng. d) $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{DC}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot \overrightarrow{AB}=a^2+0=a^2\ne a^2\sqrt{2}$ → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức mã 201: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ cùng hướng từ trước ra sau và cùng độ dài $a$, nên $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tổng $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{D{B}^{\prime }}$, khác $\overrightarrow{CA}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}$, góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AB}$ trong hình vuông bằng $45^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{DC}=a^2$, không bằng $a^2\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $AB$ thì $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}=2\overrightarrow{SM}$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $G$ nằm trên trung tuyến $SM$ và $\overrightarrow{SM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{SG}$. Do đó $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{SM}+\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{SG}+\overrightarrow{SC}$. Mặt khác $\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{GC}$... kiểm tra trực tiếp: với $S$ làm gốc, $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{SG}$ là tính chất quen thuộc của trọng tâm (vì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$, suy ra $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{SG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{SG}$). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ đơn vị: đặt $B$ làm gốc, $\vec{u}$ theo $\overrightarrow{BA}$, $\vec{v}$ theo $\overrightarrow{BC}$, $\vec{w}$ theo $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ với các cặp vectơ đôi một góc $60^{\circ }$. Khi đó $\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{u}\cdot \vec{w}=\vec{v}\cdot \vec{w}=\frac{1}{2}$.

Ta có: $A=2\vec{u}$, $C=3\vec{v}$, $D=A+C-B=2\vec{u}+3\vec{v}$, $C^{\prime }=3\vec{v}+\vec{w}$, $D^{\prime }=2\vec{u}+3\vec{v}+\vec{w}$.

$M\in AC$: $M=2\vec{u}+t(3\vec{v}-2\vec{u})=(2-2t)\vec{u}+3t\vec{v}$.

$N\in D{C}^{\prime }$: $N=2\vec{u}+3\vec{v}+s(\vec{w}-2\vec{u})=(2-2s)\vec{u}+3\vec{v}+s\vec{w}$.

Suy ra $\overrightarrow{MN}=(2t-2s)\vec{u}+(3-3t)\vec{v}+s\vec{w}$.

Vì $\overrightarrow{MN}$ cùng phương $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=2\vec{u}+3\vec{v}+\vec{w}$ nên $\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$, dẫn đến hệ:
$2t-2s=2k$, $3-3t=3k\Rightarrow t=1-k$, $s=k$.

Thay vào: $2(1-k)-2k=2k\Rightarrow k=\frac{1}{3}$. Vậy $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$.

Tính $|\overrightarrow{B{D}^{\prime }}{|}^2=4+9+1+2\cdot 2\cdot 3\cdot \frac{1}{2}+2\cdot 2\cdot 1\cdot \frac{1}{2}+2\cdot 3\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=14+6+2+3=25$, nên $|\overrightarrow{B{D}^{\prime }}|=5$.

Do đó $MN=\frac{1}{3}\cdot 5=\frac{5}{3}$. Đáp án D.

Vectơ $\vec{a}$ có tọa độ $\vec{a}=(4;3;-5)$

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm trong không gian: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$. Vậy đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn (Câu 1, mã đề 0101: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{b}=2\vec{j}-5\vec{k}=(0;2;-5)$. Do đó $\vec{u}=\vec{a}-\vec{b}=(4-0;-1-2;1-(-5))=(4;-3;6)$. Kết quả trùng với đáp án A và khớp với đáp án nguồn (Câu 7, mã đề 1001: A).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3: a) Từ $\overrightarrow{PC}=3\overrightarrow{PB}$ suy ra $C-P=3(B-P)\Rightarrow 2P=3B-C\Rightarrow P=\frac{3B-C}{2}$. Do đó $\overrightarrow{DP}=\frac{3B-C-2D}{2}=\frac{3}{2}\overrightarrow{DB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$, khác $\frac{3}{4}\overrightarrow{DB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{DC}$ → sai. b) $\overrightarrow{AB}=(2;-2;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(-2;-1;2)$ nên $\overrightarrow{x}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(2;-5;0)\ne (4;-1;-3)$ → sai. c) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$ → đúng. d) $\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}+3\overrightarrow{GC}=6\overrightarrow{GO}+(A+2B+3C)$ với $A+2B+3C=(4;-7;16)$. Vì $G$ trên mặt phẳng $Oxy$ ($z=0$), $M$ nhỏ nhất khi $G=\left(\frac{2}{3};-\frac{7}{6};0\right)$, $M_{\min }=\frac{8}{3}$. Khi đó $\overrightarrow{GA}=\left(\frac{1}{3};\frac{7}{6};2\right)$, $\overrightarrow{GB}=\left(\frac{7}{3};-\frac{5}{6};1\right)$, tích vô hướng $=\frac{7}{9}-\frac{35}{36}+2=\frac{65}{36}>0$ nên góc $AGB$ nhọn, không phải góc tù → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{PC}=3\overrightarrow{PB}$ được $P=\frac{3B-C}{2}$, nên $\overrightarrow{DP}=\frac{3}{2}\overrightarrow{DB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$, không bằng $\frac{3}{4}\overrightarrow{DB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{DC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{x}=2(2;-2;-1)+(-2;-1;2)=(2;-5;0)$, khác $(4;-1;-3)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hiệu hai vế bằng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$ nên đẳng thức đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M$ nhỏ nhất tại $G=\left(\frac{2}{3};-\frac{7}{6};0\right)$, $M_{\min }=\frac{8}{3}$. Tại đó $\overrightarrow{GA}\cdot \overrightarrow{GB}=\frac{65}{36}>0$ nên góc $AGB$ nhọn, không phải góc tù.

(AI giải đề cho tôi)
Tính $\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}$ theo từng tọa độ: $x=2(1)-3(-2)+5(-1)=2+6-5=3$; $y=2(2)-3(4)+5(3)=4-12+15=7$; $z=2(3)-3(1)+5(4)=6-3+20=23$. Vậy $\overrightarrow{v}=(3;7;23)$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 103, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;-1;4)$, $\overrightarrow{AC}=(-6;0;8)$, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=(-5;1;4)$.
a) $[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}]=\left((-1)(8)-4\cdot 0;4(-6)-(-1)(8);(-1)(0)-(-1)(-6)\right)=(-8;-16;-6)\ne (-8;16;6)$ → sai.
b) $AB=\sqrt{1+1+16}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\ne 4\sqrt{2}$ → sai.
c) $S_{ABC}=\frac{1}{2}\left|[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}]\right|=\frac{1}{2}\sqrt{64+256+36}=\frac{\sqrt{356}}{2}=\sqrt{89}\ne \sqrt{90}$ → sai.
d) Vì $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{D^{\prime }}-\overrightarrow{A}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=(1;0;5)-(-1;-1;4)-(-5;1;4)=(7;0;-3)$. Thể tích khối hộp $V=\left|\det (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A{A}^{\prime }})\right|=\left|(-1)(-3)+1(15-28)+4(-7)\right|=|-38|=38$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tích có hướng đúng là $(-8;-16;-6)$, không phải $(-8;16;6)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$AB=\sqrt{(-1{)}^2+(-1{)}^2+4^2}=3\sqrt{2}\ne 4\sqrt{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}|[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}]|=\frac{1}{2}\sqrt{356}=\sqrt{89}\ne \sqrt{90}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(7;0;-3)$, thể tích $V=|\det (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A{A}^{\prime }})|=38$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp chữ nhật có $C(3;3;0)$, $C^{\prime }(3;3;3)$. a) $\overrightarrow{AC}=C-A=(3;3;0)$ → Đúng. b) $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=C^{\prime }-A=(3;3;3)$ → Đúng. c) $\overrightarrow{BD}=D-B=(0;3;0)-(3;0;0)=(-3;3;0)\ne (3;-3;0)$ → Sai. d) Trọng tâm tam giác $ABD$: $G=\left(\frac{0+3+0}{3};\frac{0+0+3}{3};0\right)=(1;1;0)$, nên $a+2b+c=1+2+0=3\ne 5$ → Sai. Khớp đáp án mã đề 1201: ĐĐSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$C(3;3;0)$ nên $\overrightarrow{AC}=(3;3;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$C^{\prime }(3;3;3)$ nên $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(3;3;3)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BD}=(-3;3;0)$, khác $(3;-3;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$G=(1;1;0)$ nên $a+2b+c=3\ne 5$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ $\vec{u}=\overrightarrow{AB},\vec{v}=\overrightarrow{AD},\vec{w}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ với gốc tại $A$.

a) $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}=\vec{v}=\overrightarrow{BC}$, nên $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BC$ và $A^{\prime }{D}^{\prime }=BC$, do đó $A^{\prime }{D}^{\prime }CB$ là hình bình hành → Đúng.

b) Trọng tâm tam giác $A^{\prime }BD$: $\overrightarrow{A{G}_1}=\frac{\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}}{3}=\frac{\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}}{3}$. Trọng tâm tam giác $B^{\prime }{D}^{\prime }C$: $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\vec{u}+\vec{w},\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\vec{v}+\vec{w},\overrightarrow{AC}=\vec{u}+\vec{v}$, nên $\overrightarrow{A{G}_2}=\frac{(\vec{u}+\vec{w})+(\vec{v}+\vec{w})+(\vec{u}+\vec{v})}{3}=\frac{2(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{G_1{G}_2}=\frac{\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$, tức $G_1{G}_2=\frac{1}{3}A{C}^{\prime }$ chứ không phải $\frac{2}{3}A{C}^{\prime }$ → Sai.

c) Vì $\overrightarrow{A{G}_1}=\frac{1}{3}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A{G}_2}=\frac{2}{3}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ nên cả $G_1,G_2$ cùng thuộc đường thẳng $A{C}^{\prime }$ → Đúng.

d) $\overrightarrow{A^{\prime }B}=\vec{u}-\vec{w}=\overrightarrow{D^{\prime }C}$ nên $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$; kết hợp $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BC$ (từ ý a) thì hai mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ và $(B^{\prime }{D}^{\prime }C)$ song song → Đúng.

Kết quả Đ–S–Đ–Đ khớp đáp án nguồn (Câu 16, mã đề 2103: ĐSĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ nên $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BC$ và $A^{\prime }{D}^{\prime }=BC$, do đó $A^{\prime }{D}^{\prime }CB$ là hình bình hành.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{A{G}_1}=\frac{\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}}{3}$, $\overrightarrow{A{G}_2}=\frac{2(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})}{3}$, nên $\overrightarrow{G_1{G}_2}=\frac{1}{3}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$, tức $G_1{G}_2=\frac{1}{3}A{C}^{\prime }$, không phải $\frac{2}{3}A{C}^{\prime }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{A{G}_1}=\frac{1}{3}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$, $\overrightarrow{A{G}_2}=\frac{2}{3}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ nên cả $G_1,G_2$ thuộc $A{C}^{\prime }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BC$ và $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$ (vì $\overrightarrow{A^{\prime }B}=\vec{u}-\vec{w}=\overrightarrow{D^{\prime }C}$) nên $(A^{\prime }BD)\parallel (B^{\prime }{D}^{\prime }C)$.

Chọn A
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, suy ra $G(1;2;1)$.
Gọi $H(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{HA}-4\overrightarrow{HC}=\vec{0}$
$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}2-x=4(-1-x)\\ 3-y=4(0-y)\\ -1-z=4(2-z)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-1\\ z=3\end{array}\Rightarrow H(-2;-1;3).$$
Nhận thấy $G$ và $H$ nằm về hai phía đối với mặt phẳng $(Oxz)$; $HG=\sqrt{22}$.
Ta có: $S=\left|\overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MC}\right|+\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$
$=\left|\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{HA}-4\overrightarrow{MH}-4\overrightarrow{HC}\right|+\left|\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right|=\left|-3\overrightarrow{MH}\right|+\left|3\overrightarrow{MG}\right|$
$=3\left(MH+MG\right)\ge 3GH=3\sqrt{22}$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $H$, $M$, $G$ thẳng hàng theo thứ tự.
Lại do $M\in (Oxz)$ nên $S$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $M$ là giao điểm của đường thẳng $GH$ với mặt phẳng $(Oxz)$.
Vậy $M\left(-1;0;\frac{7}{3}\right)$.