Cho tứ diện $ABCD$. Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{a},\overrightarrow{AC}=\vec{b},\overrightarrow{AD}=\vec{c}$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn $BC$. Đẳng thức nào dưới đây đúng?

Cho hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thỏa mãn $\left|\vec{a}\right|=\left|\vec{b}\right|=1$, hai vecto $\vec{u}=\frac{2}{5}\vec{a}-3\vec{b}$ và $\vec{v}=\vec{a}+\vec{b}$ vuông góc với nhau. Xác định góc $\alpha$ giữa hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$.

Một em học sinh dùng các que diêm để xếp thành hình tháp có quy luật được thể hiện như trong hình sau:

Hỏi cần bao nhiêu que diêm để xếp thành hình tháp có 11 tầng?

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, xét $A$ và $B$ là hai điểm lần lượt nằm trên đồ thị hàm số $y={\log }_{3}x$ và $y={\log }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}x$ sao cho điểm $C(3;0)$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Tính độ dài đoạn thẳng $AB$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=3\sin x+4\cos x+1$ là $M$ và $m$, tính giá trị của biểu thức $S=2M+m$.

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(3;2;1),B(1;-1;2),C(1;2;-1)$. Tọa độ điểm $M(a;b;c)$ thỏa mãn $\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}$ thì $a+b-c$ bằng bao nhiêu?

Ghi lại tốc độ bóng trong 200 lần giao bóng của một vận động viên môn quần vợt cho kết quả như bảng bên.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm (làm tròn đến hàng phần chục) là

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2;-1),B(2;-1;3),C(-2;3;3)$. Điểm $M(a;b;c)$ là điểm thứ tư của hình bình hành $ABCM$, khi đó biểu thức $P=a^2+b^2+c^2$ có giá trị bằng bao nhiêu?

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=x(x+2)(x+3),\forall x\in \mathbb{R}$ và $f(1)+f(-2)=f(3)+f(0)$. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-2;3]$ lần lượt là

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$ là trung điểm của $CI$, góc giữa $SA$ và mặt đáy bằng $45^{\circ }$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SBC$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $CG$ (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn)?

Có bao nhiêu cặp số nguyên $(a;b)$ để hàm số $f(x)=x^4+a{x}^3+bx+1$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm $x=1$?

Năm 2025, bộ phim "Mưa đỏ" đạt doanh thu hơn 700 tỉ đồng, trở thành bộ phim Việt ăn khách nhất mọi thời đại. Bộ phim được chuyển thể từ tác phẩm cùng tên của nhà văn Chu Lai, đây là một trong rất nhiều tác phẩm mà nhà văn Chu Lai viết về đề tài chiến tranh. Xúc động trước hình ảnh máu xương ông, cha đổ xuống, đất trời lưu danh mà bộ phim đã truyền tải đến người xem, một thầy giáo dạy Toán đã mua một số tác phẩm của nhà văn Chu Lai, cụ thể là "Mưa đỏ", "Nắng đồng bằng", "Đêm tháng Hai", "Sông -xã", "Gió không thổi từ biển", "Ăn mây dĩ văng", "Phó nhà bình", "Nhà lao cày đũa", mỗi tác phẩm mua một cuốn. Thầy giáo dự định dùng các tác phẩm đó để trao thưởng ngẫu nhiên cho đội tuyển học sinh giỏi gồm 5 em. Hỏi có bao nhiêu cách phát thưởng tất cả các tác phẩm trên cho các em trong đội tuyển sao cho mỗi em được ít nhất một cuốn?

Cho hai hàm số $y=a^{x-1},y={\log }_a(ax)$ với $a>1$ và điểm $I(-2;-1)$. Gọi $A$ là điểm chung của đồ thị hai hàm số đã cho và $IA=5$. Tính khoảng cách từ $A$ tới gốc tọa độ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(3;4;-1),B(-1;2;3),C(3;4;4)$. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ thỏa mãn $M{A}^2+M{B}^2-2\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}+{\left(\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}\right)}^2=36$. Khi đó $MC$ đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $\widehat{AB{B}^{\prime }}=\widehat{ABC}=\widehat{CB{B}^{\prime }}=60^{\circ }$, $AB=2,BC=3,B{B}^{\prime }=1$. Gọi $M$ điểm thuộc đường thẳng $AC$, $N$ là điểm thuộc đường thẳng $D{C}^{\prime }$ sao cho hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$ cùng phương. Tính độ dài đoạn thẳng $MN$.

Cho phương trình $\left(\frac{1}{4}{\log }_{\sqrt{2}}^{2}x-3{\log }_{2}x+2\right)\sqrt{3^x-m}=0$ ($m$ là tham số thực).

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(0;0;-1),B(-1;1;0),C(1;0;1)$.

Chi phí nhiên liệu của một chiếc tàu chạy trên sông được chia làm hai phần. Phần thứ nhất chi phí hết 1250 nghìn đồng trên 1 giờ. Phần thứ hai chi phí hết $0,04x^3$ nghìn đồng trên 1 giờ nếu tàu chạy với vận tốc $x$ km/giờ.

Người ta ghi lại tiền lãi (đơn vị: triệu đồng) của một số nhà đầu tư khi đầu tư vào hai lĩnh vực A (nội thất) và B (dệt may) với cùng số tiền ban đầu, cho kết quả bằng biểu đồ dưới đây:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $O$ cạnh bằng $3a,SA=SB=SD=2a$ và tam giác $ABD$ đều. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$.

Đợt lũ lụt xảy ra vào tháng 10 năm 2025 đã làm nhiều tỉnh khu vực Nam Trung Bộ thiệt hại nặng nề. Với tinh thần tương thân tương ái, một nhóm thiện nguyện ở tỉnh Thanh Hóa đã huy động 3 xe chở hàng hóa cùng 9 tình nguyện viên, trong đó có 6 nam và 3 nữ. Ba xe được đánh số thứ tự 1,2,3. Mỗi xe có thể chở hết 9 tình nguyện viên, nhưng người này được phân bố lên 3 xe một cách ngẫu nhiên.

Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, cho đồ thị hàm số $(C):y=\frac{x^2+x+2}{x+1}$ mô tả chuyển động của hai tàu đánh cá $A$ và $B$ (1 đơn vị trên mỗi trục tọa độ tính bằng 1 km). Biết quỹ đạo chuyển động của hai tàu luôn thuộc về hai nhánh khác nhau của đồ thị $(C)$. Tính khoảng cách ngắn nhất (đơn vị km) giữa hai tàu đánh cá $A$ và $B$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Một phần đường chạy của tàu lượn siêu tốc (hình 1) khi gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ được mô phỏng ở hình 2, đơn vị trên mỗi trục là mét. Biết đường chạy của nó là một phần đồ thị hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d(0\le x<90)$; tàu lượn siêu tốc xuất phát từ điểm $A$, đi qua các điểm $C,D$ (ba điểm $A,C,D$ nằm trên đường thẳng song song với trục $Ox$) đồng thời đạt độ cao nhỏ nhất so với mặt đất là 4 m. Độ cao lớn nhất mà tàu lượn siêu tốc đạt được là bao nhiêu mét so với mặt đất? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).



Hình 1



Hình 2

Cho hàm số $f(x)=x-\frac{1}{x}+2\log x$. Các điểm biểu diễn nghiệm thuộc đoạn $[0;2\pi ]$ của phương trình $f(\sin x+2)+f\left(\frac{1}{\cos 3x+2}\right)=0$ trên đường tròn lượng giác là các đỉnh của một đa giác. Tính diện tích đa giác đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên hai phần tử từ $S$. Tính xác suất để mỗi phần tử được chọn là một số tự nhiên có tích các chữ số chia hết cho (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Một cuộc diễn tập phòng không được đặt trong không gian tọa độ $Oxyz$ với 1 đơn vị độ dài trên các hệ trục tính bằng 1 ki-lô-mét trên thực tế. Một bệ phóng tên lửa phòng không được đặt tại vị trí $O(0;0;0)$ và tên lửa bay theo một đường thẳng với vận tốc không đổi là 600 m/s. Một máy bay không người lái bay theo một đường thẳng với vận tốc không đổi là 1080 km/h và bay theo hướng của vectơ $\vec{u}=(-3;4;0)$. Khi phát hiện máy bay không người lái tại vị trí $A(6;-20;1)$ thì tên lửa khai hỏa, rời bệ phóng và sau đó đã bắn hạ được mục tiêu. Hỏi khoảng cách từ bệ phóng tên lửa đến vị trí máy bay không người lái bị bắn hạ bằng bao nhiêu ki-lô-mét? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục, giả sử cả máy bay không người lái và tên lửa đều không chịu tác động của trọng lực hay lực cản không khí).

Trong một triển lãm thời trang, một viên kim cương có tên là "Bốn mùa bên em" được đặt trên một giá đỡ. Biết rằng giá đỡ là một hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ nằm trên mặt bàn và $BA=BC$, $SA$ vuông góc với mặt bàn. Viên kim cương có hình dạng là một khối tứ diện đều có hai cạnh đối lần lượt nằm trên hai đường thẳng chứa cạnh $SC$ và đường cao $AH$ của tam giác $SAB$. Biết $AB=5$ cm, góc giữa hai mặt phẳng $(SAC),(SBC)$ bằng $60^{\circ }$. Hỏi thể tích của viên kim cương bằng bao nhiêu cm${}^3$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?