Biết $\lim \left(a\sqrt{n^2+bn+1}-2n\right)=1$, với $a$, $b$ là các số thực cho trước. Khi đó, tổng $a^2+b^2$ bằng

Người ta ghi lại tuổi thọ của một số con ong cho kết quả như sau:

Từ bảng trên ta có kết luận nào đúng?

Nhà xe khoán cho hai tài xế An và Toàn mỗi người lần lượt nhận 32 lít và 72 lít xăng trong một tháng. Biết rằng trong một ngày tổng số xăng cả hai người sử dụng là 10 lít. Tổng số ngày ít nhất để hai tài xế sử dụng hết số xăng được khoán là bao nhiêu (biết số lít xăng tiêu thụ trong các ngày là như nhau).

Cho hàm số $f(x)=mx+2+\frac{m^2-m-3}{x-1}$ (với $m$ là tham số). Khi hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại $x=0$ thì giá trị $f(5)$ bằng:

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Trên các cạnh $AD$ và $BC$ lần lượt lấy các điểm $P,Q$ sao cho $3\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AD}$, $3\overrightarrow{BQ}=2\overrightarrow{BC}$. Tính vectơ $\overrightarrow{MN}$ theo các vectơ $\overrightarrow{MP}$, $\overrightarrow{MQ}$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình bên.

Tính hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $h(x)=\frac{f(x)}{x}$ tại $x=3$.

Cho hình chóp $S.ABC$, có $SA=SB=SC$, đáy là tam giác đều cạnh $a$. Biết thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng $\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ bằng:

Cho tập $H=\left\{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\mid n\le 100\right\}$. Chọn ngẫu nhiên ba phần tử thuộc tập $H$. Tính xác suất để chọn được ba phần tử lập thành một cấp số cộng.

Có ba lực cùng tác động vào một vật. Hai trong ba lực này hợp với nhau một góc $100^{\circ }$ và có độ lớn lần lượt là 25 N và 12 N. Lực thứ ba vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực đã cho và có độ lớn 4 N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên (kết quả làm tròn phần nguyên).

Nam bắt đầu đi làm với mức lương khởi điểm là 4 500 000 đồng một tháng. Cứ sau 3 năm thì Nam được tăng lương 33\%. Hỏi sau tròn 25 năm đi làm tổng tiền lương Nam nhận được là bao nhiêu (làm tròn đến hàng nghìn)?

Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động qua lại vị trí cân bằng. Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách $h$ (tính bằng mét) từ người chơi đu đến vị trí cân bằng (mô phỏng ở hình vẽ dưới đây) được biểu diễn qua thời gian $t$ ($t\ge 0$ và được tính bằng giây) bởi hệ thức $h=|d|$ với $d=3\cos \left[\frac{\pi }{3}(2t-1)\right]$, trong đó ta quy ước rằng $d>0$ khi vị trí cân bằng ở về phía sau lưng người chơi đu và $d<0$ trong trường hợp trái lại. Một người chơi đạt cảm giác mạnh nhất khi ở vị trí xa nhất so với vị trí cân bằng. Hỏi trong khoảng thời gian 1 phút, người chơi đu đạt được cảm giác mạnh bao nhiêu lần?

Cho các hàm số $y=a^x$, $y={\log }_{b}x$, $y={\log }_{c}x$ có đồ thị như hình vẽ.

Chọn khẳng định đúng.

Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều (Hình vẽ minh họa). Cạnh đáy dưới dài $5m$, cạnh đáy trên dài $2m$, cạnh bên dài $3m$. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1470000 đồng/m³. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng.

Một người cần phải chèo thuyền từ vị trí $A$ đến vị trí $C$ trên bờ $BD$, sau đó chạy bộ từ $C$ đến $B$. Biết rằng vận tốc chèo thuyền bằng $6km/h$, vận tốc chạy bộ là $8km/h$, khoảng cách từ vị trí $A$ đến bờ $BD$ bằng $4km$, khoảng cách hai vị trí $B,D$ bằng $10km$. Tính khoảng cách giữa hai vị trí $B,C$ để tổng thời gian người đó chèo thuyền và chạy bộ là nhỏ nhất (Làm tròn đến kết quả hàng phần trăm).

Cho hàm số $f(x)={\log }_2\left(x-\frac{1}{2}+\sqrt{x^2-x+\frac{17}{4}}\right)$. Tính giá trị của biểu thức $T=f\left(\frac{1}{2025}\right)+f\left(\frac{2}{2025}\right)+\dots +f\left(\frac{2024}{2025}\right)$.

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho hàm số $f(x)={\log }_2\left(x^2-5x-6\right)$

Điểm kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm môn Văn của 2 nhóm học sinh được cho trong 2 bảng sau:
Nhóm học sinh 1

Nhóm học sinh 2

Các phát biểu sau đây đúng hay sai?

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có diện tích đáy bằng $S_0$, thể tích $V_0$.

Tại một cơ sở sản xuất nước tinh khiết, nhân viên phụ trách sản xuất cho biết, nếu mỗi ngày cơ sở này sản xuất $x\left(m^3\right)$ nước tinh khiết thì phải chi phí các khoản sau: 5 triệu đồng chi phí cố định; 0,15 triệu đồng cho mỗi mét khối sản phẩm; $0,0005x^2$ chi phí bảo dưỡng máy móc. Biết công suất tối đa mỗi ngày của cơ sở này là $200m^3$. Gọi $C(x)$ là chi phí sản xuất $x\left(m^3\right)$ sản phẩm mỗi ngày và $\overline{C}(x)$ là chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm. Khi đó:

Một hộp đựng 10 chiếc thẻ được đánh số từ 0 đến 9.

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh 1, biết khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ là $\frac{\sqrt{6}}{4}$, từ $B$ đến $(SCA)$ là $\frac{\sqrt{15}}{10}$, từ $C$ đến $(SAB)$ là $\frac{\sqrt{30}}{20}$ và hình chiếu vuông góc $H$ của $S$ xuống đáy nằm trong tam giác $ABC$. Thể tích khối chóp $V_{S.ABC}$ bằng $\frac{a}{b}$ ($\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Khi đó $a+b$ bằng

Bên trong một căn nhà bỏ hoang hình lập phương cạnh $5m$ có 3 chú nhện sinh sống. Mùa đông đến, vì đói rét nên chúng đành quyết định hợp tác với nhau giăng lưới để bắt mồi. Ba chú nhện tính toán sẽ giăng một mảnh lưới hình tam giác theo cách sau: Mỗi chú nhện sẽ đứng ở mép tường bất kì (có thể mép giữa 2 bức tường, giữa tường với trần, hoặc giữa tường với nền) rồi phóng những sợi tơ làm khung đến vị trí của 2 con nhện còn lại rồi sau đó mới phóng tơ đính dán phần lưới bên trong. Chúng quy định không có bất kì 2 con nhện nào cùng nằm trên một mặt tường, nền hoặc trần nhà. Chu vi nhỏ nhất của mảnh lưới được giăng (biết các sợi tơ khung căng và không nhùn) là $\frac{m}{p}\sqrt{n}$ với $m;n;p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$; $\frac{m}{p}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức $m+n+p$.

Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\frac{1}{2}{\log }_2\left(x+3\right)={\log }_2\left(x+1\right)+x^2-x-4+2\sqrt{x+3}$.

Để thiết kế mô hình của một đoạn đường cao tốc nối hai sườn đồi với sự khác biệt về độ cao ở vị trí hai sườn đồi giao nhau là $50$ feet, người ta có thể làm như sau:

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ với $O$ là vị trí hai sườn đồi giao nhau, phương nằm ngang là trục $Ox$, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là feet. Chọn hai vị trí $A$, $B$ lần lượt trên hai sườn đồi. Bằng cách đo đạc tại thực địa, ta xác định được tọa độ hai điểm $A$, $B$ và góc dốc $\alpha$ tại điểm $B$ của sườn đồi. Giả sử ta có $A(-1000;60)$, $B(1000;90)$ và $\tan \alpha =0,04$. Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, quan sát đường cong mô phỏng đoạn đường cao tốc nối hai sườn đồi, đường cong đó gợi nên hình ảnh đồ thị của hàm số bậc ba. Vì thế ta có thể chọn hàm số bậc ba $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d(a\ne 0)$ sao cho trong hệ trục tọa độ $Oxy$, đồ thị hàm số đó trên đoạn $[-1000;1000]$ mô phỏng đoạn đường cao tốc cần thiết kế. Ta chọn theo nguyên tắc: $\alpha$ là góc tạo bởi tiếp tuyến tại B của đồ thị hàm số đó và chiều dương của trục $Ox$. Tính khoảng cách từ điểm thấp nhất của đoạn đường đến vị trí hai sườn đồi giao nhau (làm tròn đến hàng đơn vị).

Năm 2025 là một năm đặc biệt đối với người yêu toán học, vì 2025 là một số chính phương (tạm gọi là “năm chính phương”), và đây cũng là năm chính phương duy nhất của thế kỷ 21; muốn có được năm chính phương tiếp theo, ta phải chờ thêm 91 năm nữa, tức là năm 2116. Để chào đón năm chính phương đặc biệt này, một thầy giáo dạy toán đã gọi hai em học sinh lên bảng và cho mỗi em viết ngẫu nhiên một số chính phương mà em biết từ 1 đến 2025. Xác suất để hai em viết ra hai số chính phương giống nhau và đều là số chia hết cho cả 3 và 5 bằng $\frac{m}{n}$ với $m,n\in \mathbb{I}$ và $\frac{m}{n}$ tối giản (biết cả hai em học sinh đều viết đúng số chính phương của mình và khả năng xuất hiện mỗi số chính phương là như nhau). Tính $2m+3n$.

Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể bất kỳ trong không gian. Với hệ trục tọa độ $Oxyz$ thích hợp, một vệ tinh đang ở vị trí tọa độ $A(-1;-3;-5)$ thường xuyên truyền tín hiệu đến các trạm thu ở các vị trí $B(-1;1;-1)$ và $C(1;-1;-1)$ trên mặt đất. Biết rằng mặt đất được mô hình hóa bởi phương trình mặt cầu: $$(S):x^2+y^2+z^2=3.$$ Người ta xác định được tọa độ điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt đất sao cho tổng độ dài $MA+MB+MC$ là nhỏ nhất. Tính giá trị $2a-6b-8c$ và làm tròn đến hàng phần chục?