Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Trên các cạnh $AD$ và $BC$ lần lượt lấy các điểm $P,Q$ sao cho $3\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AD}$, $3\overrightarrow{BQ}=2\overrightarrow{BC}$. Tính vectơ $\overrightarrow{MN}$ theo các vectơ $\overrightarrow{MP}$, $\overrightarrow{MQ}$.

Cho tứ diện $ABCD$, $G$ là trọng tâm tứ diện. Gọi $G_1$ là giao điểm của $AG$ và $mp(BCD)$, $G_2$ là giao điểm của $BG$ và $mp(ACD)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Cho hình bình hành ABCD, M trên đoạn AB và N trên đoạn CD sao cho $AM=\frac{1}{3}AB$, $DN=\frac{1}{2}DC$. Gọi I, J là các điểm xác định bởi $\overrightarrow{BI}=x\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AJ}=y\overrightarrow{AI}$. Tìm $x,y$ để $J$ là trọng tâm tam giác $BMN$.

b) Cho tam giác đều $ABC$. Lấy các điểm $M,N$ thỏa mãn $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$; $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. Gọi I là giao điểm của $AM$ và $CN$. Chứng minh $BI\perp IC$.

Cho tam giác đều $ABC$, $AB=3$, đường cao $AH$. $M$ là điểm di động trên đường cao $AH$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left|5\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\right|$. (Kết quả để dưới dạng số thập phân)

Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là một điểm trên cạnh $AC$ sao cho $NA=2NC$. Gọi $K$ là trung điểm $MN$. Khi đó $\overrightarrow{AK}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$. Tính giá trị của $P=2x-y$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=3,BC=5$. Gọi $D$ là điểm đối xứng với $B$ qua $A$.

a) Chứng minh $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{CA}$.

b) Tính $\left|2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right|$.

c) Xác định vị trí điểm $M$ thuộc đường thẳng $BC$ tìm giá trị nhỏ nhất của $T$ với $T=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$.

Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$ và $I$ là trung điểm của $BC$. Mệnh đề nào SAI?