Cho hàm số $f(x)={\log }_2\left(x^2-5x-6\right)$

a) Sai: $f^{\prime }(x)=\frac{2x-5}{\left(x^2-5x+6\right)\ln 2}$. b) Đúng: $S=[-2;-1)\cup (6;7]$ nên $a+b+c+d=-2-1+6+7=10$. c) Đúng: $D=\left(0;e^{-1}\right)\cup \left(e^6;+\infty \right)$ nên $6a+b=6(-1)+6=0$. d) Sai: phương trình $f(2^x)=m$ luôn có nghiệm với mọi $m\in \mathbb{R}$; với $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$, $m\in [-5;5]$ có 5 giá trị $m\in \{1;2;3;4;5\}$.
a) Chọn Sai. Trên $(-\infty ;-1)\cup (6;+\infty )$, ta có: $f^{\prime }(x)=\frac{2x-5}{\left(x^2-5x+6\right)\ln 2}$.
b) Chọn Đúng. Điều kiện: $x^2-5x-6>0\iff \{\begin{array}{l}x<-1\\ x>6\end{array}$. Xét $f(x)\le 3\iff x^2-5x-6\le 8\iff x^2-5x-14\le 0\iff -2\le x\le 7$. Tập nghiệm của bất phương trình $f(x)\le 3$ là $S=[-2;-1)\cup (6;7]$. $\Rightarrow a=-2;b=-1;c=6;d=7\Rightarrow a+b+c+d=10$.
c) Chọn Đúng. Ta có: $y=f(\ln (x))={\log }_2\left({\ln }^{2}x-5\ln x-6\right)$. Xét $\{\begin{array}{l}x>0\\ {\ln }^{2}x-5\ln x-6>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>0\\ \{\begin{array}{l}\ln x<-1\\ \ln x>6\end{array}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>0\\ \{\begin{array}{l}x<e^{-1}\\ x>e^6\end{array}\end{array}$. $\Rightarrow D=\left(0;e^{-1}\right)\cup \left(e^6;+\infty \right)\Rightarrow a=-1,b=6\Rightarrow 6a+b=0$.
d) Chọn Sai. Ta có: $y=f\left(2^x\right)={\log }_2\left(2^{2x}-5.2^x-6\right)$. Điều kiện: $2^{2x}-5.2^x-6>0\iff \{\begin{array}{l}{2}^x<-1\\ 2^x>6\end{array}\iff x>{\log }_{2}6$. Có $f\left(2^x\right)=m\iff {\log }_2\left(2^{2x}-5.2^x-6\right)=m\iff 2^{2x}-5.2^x-6=2^m$. Xét hàm số $g(x)=2^{2x}-5.2^x-6$; $g^{\prime }(x)=2.2^{2x}\ln 2-5.2^x\ln 2$. $g^{\prime }(x)=0\iff x={\log }_2\frac{5}{2}<{\log }_{2}6$. Bảng xét dấu : dựa vào bảng xét dấu và vì $2^m>0,\forall m\in \mathbb{R}$ nên phương trình $f\left(2^x\right)=m$ luôn có nghiệm với $\forall m\in \mathbb{R}$. Mà $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ và $m\in [-5;5]$ nên $m\in \{1;2;3;4;5\}$ (5 giá trị).