Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể bất kỳ trong không gian. Với hệ trục tọa độ $Oxyz$ thích hợp, một vệ tinh đang ở vị trí tọa độ $A(-1;-3;-5)$ thường xuyên truyền tín hiệu đến các trạm thu ở các vị trí $B(-1;1;-1)$ và $C(1;-1;-1)$ trên mặt đất. Biết rằng mặt đất được mô hình hóa bởi phương trình mặt cầu: $$(S):x^2+y^2+z^2=3.$$ Người ta xác định được tọa độ điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt đất sao cho tổng độ dài $MA+MB+MC$ là nhỏ nhất. Tính giá trị $2a-6b-8c$ và làm tròn đến hàng phần chục?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(0;0;0)$ và $B(2;4;4)$. Phương trình mặt cầu đường kính $AB$ là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $O(0;0;0)$, mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $A(-688;-185;8)$, chuyển động theo theo đường thẳng $d$ có véc tơ chỉ phương là $\vec{u}=(91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi $C(a;b;c)$ là tọa độ vị trí cuối cùng mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa. Tính $a+b+c$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-2=0$. Tâm và bán kính của mặt cầu $(S)$ là:

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị mỗi trục tọa độ là km). Một trạm phát sóng được đặt tại vị trí $A(0,1,3)$ và có vùng phủ sóng là hình cầu bán kính 5 km. Một con đường thẳng được mô hình hóa bởi đường thẳng: $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{2}$.

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu tâm $M(1;2;-1)$ đi qua điểm $N(2;1;0)$ có bán kính bằng

Trong một trò chơi điện tử, người chơi điều khiển một "Quả cầu năng lượng" bảo vệ có dạng mặt cầu $(S)$ có bán kính thay đổi. Lỗi hệ thống yêu cầu quả cầu này phải thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: mặt ngoài của quả cầu luôn tiếp xúc với một bức tường năng lượng phẳng $(P):x+y-2z=0$, đồng thời mặt cầu luôn đi qua hai điểm cảm biến cố định $M(-1;-1;2),N(1;1;2)$. Gọi $I$ là tâm mặt cầu và $D$ là tiếp điểm của mặt cầu $(S)$ với mặt phẳng $(P)$.



a) $\overrightarrow{MN}=(2;2;0)$.
b) Đường thẳng $MN$ cắt bức tường năng lượng $(P)$ tại điểm $E(2;2;2)$.
c) Trong suốt quá trình di chuyển, tâm $I$ của quả cầu năng lượng luôn thuộc mặt phẳng $(\alpha ):x+y=0$.
d) Tâm $I$ của quả cầu năng lượng di chuyển trên một đường cong có diện tích bằng $3\pi \sqrt{6}$.