Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị mỗi trục tọa độ là km). Một trạm phát sóng được đặt tại vị trí $A(0,1,3)$ và có vùng phủ sóng là hình cầu bán kính 5 km. Một con đường thẳng được mô hình hóa bởi đường thẳng: $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: vectơ chỉ phương của $d$ là ${\vec{u}}_d=(1;-1;2)$, không phải $(1;1;2)$. b) Đúng: mặt cầu tâm $A(0;1;3)$ bán kính 5 có phương trình $x^2+(y-1{)}^2+(z-3{)}^2=25$. c) Sai: điểm trên $d$ có dạng $(1+t;-t;2t)$, điều kiện $\overrightarrow{AH}\perp {\vec{u}}_d$: $(1+t)+(t+1)+2(2t-3)=0\Rightarrow 6t-4=0\Rightarrow t=\frac{2}{3}$, nên $H\left(\frac{5}{3};-\frac{2}{3};\frac{4}{3}\right)$, hoành độ $\frac{5}{3}\ne -\frac{2}{3}$. d) Đúng: $\overrightarrow{AH}=\left(\frac{5}{3};-\frac{5}{3};-\frac{5}{3}\right)$ nên $d(A,d)=|AH|=\sqrt{\frac{25}{3}}$. Độ dài đoạn đường nằm trong vùng phủ sóng là $2\sqrt{R^2-d^2(A,d)}=2\sqrt{25-\frac{25}{3}}=2\sqrt{\frac{50}{3}}\approx 8,16$ km.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của $d$ là $(1;-1;2)$, khác $(1;1;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm $A(0;1;3)$, $R=5$: $x^2+(y-1{)}^2+(z-3{)}^2=25$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Điểm trên $d$: $(1+t;-t;2t)$, $\overrightarrow{AH}\cdot (1;-1;2)=0\Rightarrow t=\frac{2}{3}$, $H\left(\frac{5}{3};-\frac{2}{3};\frac{4}{3}\right)$, hoành độ $\frac{5}{3}\ne -\frac{2}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,d)=\sqrt{\frac{25}{3}}$, độ dài đoạn nằm trong vùng phủ sóng $=2\sqrt{25-\frac{25}{3}}=2\sqrt{\frac{50}{3}}\approx 8,16$ km.