Trong một trò chơi điện tử, người chơi điều khiển một "Quả cầu năng lượng" bảo vệ có dạng mặt cầu $(S)$ có bán kính thay đổi. Lỗi hệ thống yêu cầu quả cầu này phải thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: mặt ngoài của quả cầu luôn tiếp xúc với một bức tường năng lượng phẳng $(P):x+y-2z=0$, đồng thời mặt cầu luôn đi qua hai điểm cảm biến cố định $M(-1;-1;2),N(1;1;2)$. Gọi $I$ là tâm mặt cầu và $D$ là tiếp điểm của mặt cầu $(S)$ với mặt phẳng $(P)$.



a) $\overrightarrow{MN}=(2;2;0)$.
b) Đường thẳng $MN$ cắt bức tường năng lượng $(P)$ tại điểm $E(2;2;2)$.
c) Trong suốt quá trình di chuyển, tâm $I$ của quả cầu năng lượng luôn thuộc mặt phẳng $(\alpha ):x+y=0$.
d) Tâm $I$ của quả cầu năng lượng di chuyển trên một đường cong có diện tích bằng $3\pi \sqrt{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{MN}=N-M=(1-(-1);1-(-1);2-2)=(2;2;0)$ → Đúng.

b) Đường thẳng $MN$: $(x;y;z)=(-1;-1;2)+t(2;2;0)$. Thay vào $(P):x+y-2z=0$: $(-1+2t)+(-1+2t)-4=0\iff 4t-6=0\iff t=\frac{3}{2}$, suy ra $E(2;2;2)$ → Đúng.

c) Vì mặt cầu đi qua $M,N$ nên $IM=IN$, tức $I$ thuộc mặt phẳng trung trực của $MN$. Mặt phẳng này đi qua trung điểm $(0;0;2)$, có pháp tuyến $\overrightarrow{MN}=(2;2;0)$, phương trình $2x+2y=0\iff x+y=0$. Vậy $I$ luôn thuộc $(\alpha ):x+y=0$ → Đúng.

d) Với $I=(x;-x;z)$: $R=IM=\sqrt{(x+1{)}^2+(-x+1{)}^2+(z-2{)}^2}=\sqrt{2(x+1{)}^2+(z-2{)}^2}$ và $R=d(I,(P))=\frac{|x-x-2z|}{\sqrt{6}}=\frac{2|z|}{\sqrt{6}}$. Bình phương: $2(x+1{)}^2+(z-2{)}^2=\frac{2z^2}{3}\iff 6(x+1{)}^2+3(z-2{)}^2=2z^2\iff 6(x+1{)}^2+(z-6{)}^2=24$. Đây là một elip trong mặt phẳng $(\alpha )$, với các nửa trục $a=\sqrt{24/6}=2$, $b=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ (tính theo tọa độ $x,z$), diện tích $\pi ab=4\pi \sqrt{6}\ne 3\pi \sqrt{6}$ (kể cả tính theo thước đo thực trong mặt phẳng $(\alpha )$, diện tích là $4\pi \sqrt{12}=8\pi \sqrt{3}$, vẫn khác $3\pi \sqrt{6}$) → Sai.

Kết quả: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai — khớp đáp án mã 101 (ĐĐĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{MN}=(1-(-1);1-(-1);2-2)=(2;2;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) MN: $(-1;-1;2)+t(2;2;0)$; thay vào $(P)$: $4t-6=0\Rightarrow t=\frac{3}{2}\Rightarrow E(2;2;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $IM=IN$ nên $I$ thuộc mặt phẳng trung trực của $MN$ đi qua $(0;0;2)$ với pháp tuyến $(2;2;0)$: $x+y=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $I=(x;-x;z)$: $2(x+1{)}^2+(z-2{)}^2=\frac{2z^2}{3}\iff 6(x+1{)}^2+(z-6{)}^2=24$, elip với nửa trục $2$ và $2\sqrt{6}$, diện tích $4\pi \sqrt{6}\ne 3\pi \sqrt{6}$ (theo thước đo thực trong $(\alpha )$ là $8\pi \sqrt{3}$, cũng khác). Vậy d) Sai.