Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(2;0;0),B(0;-1;0),C(0;0;5)$
a) Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $\frac{x}{2}-\frac{y}{1}+\frac{z}{5}=0$.
b) Gọi $(P)$ là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua $AC$. Khoảng cách lớn nhất từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng $\frac{10\sqrt{29}}{29}$.
c) Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Khi đó đường thẳng $OH$ đi qua điểm $M\left(1;-2;\frac{2}{5}\right)$.
d) Mặt cầu đi qua 4 điểm $O,A,B,C$ có bán kính bằng $\frac{\sqrt{30}}{4}$.

Đáp án theo bảng đáp án mã 101, Phần II, Câu 3: SĐĐS — a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai. Lưu ý: bản ghi trước đây đánh dấu ý c) là Sai, không khớp bảng đáp án SĐĐS ở trang 9; đã sửa ý c) thành Đúng và bổ sung lời giải cho từng ý.
a) Sai. Mặt phẳng $(ABC)$ có dạng $\frac{x}{2}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{5}=1$, tức $\frac{x}{2}-y+\frac{z}{5}=1$ (không bằng $0$). Thử điểm $B(0;-1;0)$ vào $\frac{x}{2}-\frac{y}{1}+\frac{z}{5}=0$ được $1\ne 0$, nên khẳng định trên sai. Theo bảng đáp án mã 101: S.
b) Đúng. Khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(P)$ đi qua $AC$ lớn nhất khi $(P)\perp (OAC)$, khi đó $d(O,(P))=d(O,AC)=\frac{|\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OC}|}{AC}=\frac{|(2;0;0)\times (0;0;5)|}{\sqrt{4+25}}=\frac{10}{\sqrt{29}}=\frac{10\sqrt{29}}{29}$. Theo bảng đáp án mã 101: Đ.
c) Đúng. Trực tâm $H$ thỏa $\{\begin{array}{l}(H-A)\cdot \overrightarrow{BC}=0\\ (H-B)\cdot \overrightarrow{AC}=0\end{array}$. Với $H(x;y;z)$: $y+5z=0$ và $-2x+5z=0$, suy ra $H=\left(\frac{5z}{2};-5z;z\right)$, tức $H$ nằm trên đường thẳng qua $O$ có VTCP $\left(\frac{5}{2};-5;1\right)\propto \left(1;-2;\frac{2}{5}\right)$. Vậy $OH$ đi qua $M\left(1;-2;\frac{2}{5}\right)$. Theo bảng đáp án mã 101 (dòng Câu 3: SĐĐS): Đ.
d) Sai. Gọi $I(x;y;z)$ là tâm mặt cầu qua $O,A,B,C$. Vì $IO=IA=IB=IC$ nên $x=1$, $y=-\frac{1}{2}$, $z=\frac{5}{2}$. Khi đó $R^2=I{O}^2=1+\frac{1}{4}+\frac{25}{4}=\frac{15}{2}$, tức $R=\frac{\sqrt{30}}{2}\ne \frac{\sqrt{30}}{4}$. Theo bảng đáp án mã 101: S.