Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $B(0;0;0)$, $C(1;0;0)$, $A(0;1;0)$, $D(1;1;0)$, $S(0;0;2)$. Khi đó $M(\frac{1}{2};1;0)$, $N(\frac{1}{2};0;0)$, $E=\frac{S+2A}{3}=(0;\frac{2}{3};\frac{2}{3})$ (vì $SE=2EA$), $P$ trung điểm $SN=(\frac{1}{4};0;1)$.

a) $F=CM\cap BD$: đường $BD$ có dạng $(t;t;0)$, đường $CM$: $(1-\frac{s}{2};s;0)$. Suy ra $s=1-\frac{s}{2}\Rightarrow s=\frac{2}{3}$, nên $F(\frac{2}{3};\frac{2}{3};0)$. Vì $F$ thuộc $BD$ với $t=\frac{2}{3}$ nên $\frac{FD}{FB}=\frac{1/3}{2/3}=\frac{1}{2}$.

Mặt phẳng $(EFP)$: $\overrightarrow{EF}=(\frac{2}{3};0;-\frac{2}{3})$, $\overrightarrow{EP}=(\frac{1}{4};-\frac{2}{3};\frac{1}{3})$, pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{EF}\times \overrightarrow{EP}\propto (8;7;8)$. Phương trình mặt phẳng qua $E$: $8x+7y+8z=10$. Giao với đường thẳng $BC$ (có $y=z=0$): $8x=10\Rightarrow x=\frac{5}{4}$, tức $Q(\frac{5}{4};0;0)$ nằm trên tia kéo dài $BC$ qua $C$. Vậy $CQ=\frac{5}{4}-1=\frac{1}{4}$ nên $\frac{CQ}{CB}=\frac{1}{4}$.

b) Khoảng cách từ $D(1;1;0)$ đến mặt phẳng $8x+7y+8z-10=0$: $d(D,(EFP))=\frac{|8+7-10|}{\sqrt{64+49+64}}=\frac{5}{\sqrt{177}}=\frac{5\sqrt{177}}{177}$.

(AI giải đề cho tôi)
A(0;-1;1) có $0-(-1)+2(1)-1=2>0$, B(1;1;-2) có $1-1+2(-2)-1=-5<0$, nên A và B nằm khác phía đối với $(\alpha )$. Do đó $MA+MB$ nhỏ nhất khi $M$ là giao điểm của $AB$ với $(\alpha )$. Đường thẳng $AB$: $(x;y;z)=(t;-1+2t;1-3t)$. Thay vào $(\alpha )$: $t+1-2t+2-6t-1=0\iff -7t+2=0\iff t=\frac{2}{7}$. Vậy $x_M=t=\frac{2}{7}$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng trung trực của AB gồm các điểm cách đều A(1;1;1) và B(1;3;-5). Kiểm tra từng điểm: Với M(0;2;-2): MA²=(0-1)²+(2-1)²+(-2-1)²=1+1+9=11; MB²=(0-1)²+(2-3)²+(-2+5)²=1+1+9=11, nên MA=MB, M thuộc mặt phẳng trung trực. Với N(1;-2;1): NA²=0+9+0=9, NB²=0+25+36=61, loại. Với P(3;-1;5): PA²=4+4+16=24, PB²=4+16+100=120, loại. Với Q(0;6;1): QA²=1+25+0=26, QB²=1+9+36=46, loại. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $(\alpha ):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ với $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$, $abc\ne 0$. Vì $M$ là trực tâm tam giác $ABC$ nên $MA\perp BC$, $MB\perp AC$, $MC\perp AB$:
- $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{BC}=(2-a;4;-5)\cdot (0;-b;c)=-4b-5c=0\Rightarrow 4b+5c=0$;
- $\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{AC}=(2;4-b;-5)\cdot (-a;0;c)=-2a-5c=0\Rightarrow 2a+5c=0$;
- $\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{AB}=(2;4;-5-c)\cdot (-a;b;0)=-2a+4b=0\Rightarrow a=2b$.

Từ đó $c=-\frac{2a}{5}=-\frac{4b}{5}$. Vì $M\in (\alpha )$: $\frac{2}{2b}+\frac{4}{b}+\frac{-5}{-4b/5}=1\Rightarrow \frac{1+4+25/4}{b}=1\Rightarrow b=\frac{45}{4}$, suy ra $a=\frac{45}{2}$, $c=-9$.

Phương trình: $\frac{2x}{45}+\frac{4y}{45}-\frac{z}{9}=1\iff 2x+4y-5z=45\iff 2x+4y-5z-45=0$. Kiểm tra: $M(2;4;-5)$: $4+16+25-45=0$ ✓. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\alpha ):3x+2y-4z+1=0$ có vecto pháp tuyến là vecto chỉ gồm các hệ số của $x,y,z$, tức $\vec{n}=(3;2;-4)$. So với các đáp án, đây chính là $\overrightarrow{n_4}=(3;2;-4)$ ở phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(2;-5;0)$ đến mặt phẳng $(P):x-2y-2z-3=0$ là $d(M,(P))=\frac{|2-2(-5)-2(0)-3|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+(-2{)}^2}}=\frac{|2+10-3|}{3}=\frac{9}{3}=3$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng cắt Ox, Oy, Oz tại A,B,C nên có dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ với $OA=a,OB=b,OC=c>0$. Vì $(P)$ qua $M(1;2;3)$: $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=1$. Theo BĐT Cauchy–Schwarz: ${\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\right)}^2\le \left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)(1+4+9)=14T$, nên $T\ge \frac{1}{14}$. Dấu bằng khi $\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}=1:2:3$, tức $\frac{1}{a}=k,\frac{1}{b}=2k,\frac{1}{c}=3k$. Khi đó $k+4k+9k=14k=1\Rightarrow k=\frac{1}{14}$. Vậy $(P):\frac{x}{14}+\frac{2y}{14}+\frac{3z}{14}=1\iff x+2y+3z-14=0$, tức $a=2,b=3,c=-14$. Do đó $A=a+b+c=2+3-14=-9$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng đẳng thức Leibniz: $2M{A}^2+M{B}^2=3M{G}^2+\frac{2A{B}^2}{3}$ với $G$ là trọng tâm tam giác $MAB$, tức $G=\frac{2A+B}{3}$. Tính $G=\left(\frac{2\cdot 2+(-1)}{3};\frac{2\cdot 0+(-6)}{3};\frac{2\cdot 1+7}{3}\right)=(1;-2;3)$. Ta có $A{B}^2=(-3{)}^2+(-6{)}^2+6^2=81$. Vì $M\in (P)$ nên $M{G}^2\ge d^2(G,(P))$. Khoảng cách từ $G$ đến $(P)$: $d=\frac{|1-(-2)+3-3|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$. Vậy giá trị nhỏ nhất là $3\cdot (\sqrt{3}{)}^2+\frac{2\cdot 81}{3}=9+54=63$, đạt được khi $M$ là hình chiếu của $G$ lên $(P)$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):x-y-z+2=0$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=1,B=-1,C=-1$. Do đó một vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(1;-1;-1)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục toạ độ với gốc tại góc tường, trục Ox dọc tường sau, trục Oy dọc tường trái. Ba đỉnh mặt gỗ: A(0;0;2) (cọc cao nhất ở góc tường), B(2;0;1) (cọc 1m ở tường sau, cách tường trái 2m), C(0;1;0,5) (cọc 0,5m ở tường trái, cách tường sau 1m). Mặt gỗ là mặt phẳng đi qua A, B, C, có dạng z = 2 + ax + by. Thay B: 1 = 2 + 2a ⟹ a = -1/2. Thay C: 0,5 = 2 + b ⟹ b = -3/2. Vậy mặt phẳng: z = 2 - x/2 - 3y/2. Cọc chống đỡ vuông góc mặt đất, đặt cách mỗi bức tường 0,5m nên chân cọc tại (0,5; 0,5; 0), đầu cọc chạm mặt gỗ tại điểm có cao độ z = 2 - 0,25 - 0,75 = 1 (m). Chiều dài cọc = 1 - 0 = 1 mét. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(BCD)$. Ta có $\overrightarrow{BC}=(0;-2;-2)$, $\overrightarrow{BD}=(-1;-1;-1)$. Vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BD}=(0;2;-2)$. Mặt phẳng $(BCD)$: $y-z+1=0$ (kiểm tra: $B(1;1;2)$: $1-2+1=0$; $D(0;0;1)$: $0-1+1=0$; $C(1;-1;0)$: $-1-0+1=0$). Đường cao từ $A$ là khoảng cách từ $A(0;1;-1)$ đến $(BCD)$: $h=\frac{|1-(-1)+1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;2a;0)$, $C(a;2a;0)$. Tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ và $(SAB)\perp (ABCD)$ nên $S\left(\frac{a}{2};0;\frac{\sqrt{3}a}{2}\right)$. Trung điểm $M$ của $SD$: $M\left(\frac{a}{4};a;\frac{\sqrt{3}a}{4}\right)$.

Vecto pháp tuyến của $(SAC)$: $\vec{n}=\overrightarrow{AS}\times \overrightarrow{AC}=\left(-\sqrt{3}{a}^2;\frac{\sqrt{3}{a}^2}{2};a^2\right)$, suy ra phương trình mặt phẳng: $-\sqrt{3}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+z=0$.

Khoảng cách từ $M$ đến $(SAC)$:
$$d(M,(SAC))=\frac{\left|-\sqrt{3}\cdot \frac{a}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{\sqrt{3}a}{4}\right|}{\sqrt{3+\frac{3}{4}+1}}=\frac{\frac{\sqrt{3}a}{2}}{\frac{\sqrt{19}a}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{19}}a=\frac{\sqrt{57}a}{19}.$$
Kết quả trùng với đáp án A của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi B là điểm nghỉ trên (Oxy), C là điểm ong chạm mặt (P): y−z=0, D là điểm kết thúc đoạn bò (D∈(P), CD=2). Quãng đường = AB + BC + CD + DA.

Bước 1: Phản chiếu A qua (Oxy) được A₁(3;2;−1). Vì B∈(Oxy) nên AB+BC = A₁B+BC ≥ A₁C, dấu '=' khi B nằm trên đoạn A₁C.

Bước 2: Phản chiếu A qua (P) được A₂(3;1;2) (do đối xứng qua y−z=0 là hoán đổi y,z). Vì D∈(P) nên DA = DA₂.

Bước 3: C,D∈(P), CD=2. Khoảng cách từ A₁ đến (P) là p = |2−(−1)|/√2 = 3/√2, từ A₂ đến (P) là q = |1−2|/√2 = 1/√2. Hình chiếu của A₁ và A₂ trên (P) lần lượt là (3; 1/2; 1/2) và (3; 3/2; 3/2), khoảng cách trong mặt phẳng u = √2.

Chọn trục trong (P) along vector (0;1;1)/√2, khi đó bài toán trở thành: min √(x²+p²) + √((u−2−x)²+q²) = khoảng cách từ điểm (0;−p) đến (u−2; q), tức là
$$\sqrt{(u-2{)}^2+(p+q{)}^2}=\sqrt{(\sqrt{2}-2{)}^2+(2\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{14-4\sqrt{2}}\approx \mathrm{2.8884.}$$

Giá trị này đạt được với C = (3; 0.1893; 0.1893)∈(P) (có z>0 nên đoạn A₁C cắt (Oxy) tại B hợp lệ), D = C + 2·(0;1;1)/√2 = (3; 1.6035; 1.6035)∈(P).

Tổng quãng đường ngắn nhất:
$$2+\sqrt{14-4\sqrt{2}}\approx 4.8884\approx 4.89\text{ dm}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(-1;1;-3)$ đến $(P):2x-y+2z+3=0$ là $d(M,(P))=\frac{|2(-1)-1+2(-3)+3|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+2^2}}=\frac{|-2-1-6+3|}{3}=\frac{6}{3}=2$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn $A(0;0;0)$, $B(5;0;-0,05)$, $D(0;12;-0,08)$ (đơn vị mét). Mặt phẳng sân chứa $A,B,D$ có dạng $z=ax+by$. Thay $B$: $5a=-0,05\Rightarrow a=-0,01$. Thay $D$: $12b=-0,08\Rightarrow b=-\frac{1}{150}$. Vậy $C(5;12;z_C)$ với $z_C=5(-0,01)+12\left(-\frac{1}{150}\right)=-0,05-0,08=-0,13$ m $=-13$ cm. Suy ra vị trí $C$ thấp hơn vị trí $A$ là $13$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: từ $(P):2x+y+2z-3=0$ ta có pháp tuyến ${\vec{n}}_P=(2;1;2)$, không phải $(2;1;-2)$. b) Đúng: $d(A,(P))=\frac{|2\cdot 3+4+2\cdot (-1)-3|}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{|6+4-2-3|}{3}=\frac{5}{3}$. c) Đúng: thay $A(3;4;-1)$ vào $(Q)$: $3-4+(-1)+2=0$, nên $A\in (Q)$. d) Đúng: $(\alpha )\perp (P),(Q)$ nên ${\vec{n}}_{\alpha }={\vec{n}}_P\times {\vec{n}}_Q=(2;1;2)\times (1;-1;1)=(1\cdot 1-2\cdot (-1);2\cdot 1-2\cdot 1;2\cdot (-1)-1\cdot 1)=(3;0;-3)\parallel (1;0;-1)$. Mặt phẳng qua $A(3;4;-1)$: $1(x-3)+0(y-4)-1(z+1)=0\iff x-z-4=0$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của $(P)$ là $(2;1;2)$, không phải $(2;1;-2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,(P))=\frac{|6+4-2-3|}{3}=\frac{5}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3-4-1+2=0$ nên $A\in (Q)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\vec{n}}_{\alpha }={\vec{n}}_P\times {\vec{n}}_Q=(3;0;-3)\parallel (1;0;-1)$, qua $A$ cho $x-z-4=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):x-2y+3z-5=0$ có hệ số của $x,y,z$ lần lượt là $1,-2,3$, nên một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;-2;3)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng cắt các trục tại $A(-5;0;0)$, $B(0;3;0)$, $C(0;0;2)$ nên có dạng phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{-5}+\frac{y}{3}+\frac{z}{2}=1$. Kiểm tra: thay $A$: $\frac{-5}{-5}=1$ ✓; thay $B$: $\frac{3}{3}=1$ ✓; thay $C$: $\frac{2}{2}=1$ ✓. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):2x-y+3z-1=0$ có hệ số của $x,y,z$ lần lượt là $2;-1;3$, do đó một vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(2;-1;3)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay A(1;1;2) vào (P): 1-2-4-1=-6≠0 nên A không thuộc (P) → đúng. b) d(B,(P))=|3-4+6-1|/3=4/3≠3 → sai. c) VTCP của AB là (2;1;-5) chứ không phải (3;2;-3) → sai. d) I(0;0;c): IA²=2+(2-c)², IB²=13+(-3-c)²; giải ra c=-8/5, R²=2+(18/5)²=374/25, phương trình x²+y²+z²+(16/5)z-310/25=0, khác -8z+2 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(1;1;2): 1-2(1)-2(2)-1=-6≠0 nên A không thuộc (P).
b) (AI giải đề cho tôi)
d(B,(P))=|3-2·2-2·(-3)-1|/√(1+4+4)=|3-4+6-1|/3=4/3≠3.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB=(2;1;-5), phương trình tham số phải là x=1+2t, y=1+t, z=2-5t, không phải phương trình đã cho.
d) (AI giải đề cho tôi)
I(0;0,c) với IA=IB cho c=-8/5, R²=374/25, phương trình: x²+y²+z²+(16/5)z-310/25=0, khác x²+y²+z²-8z+2=0.