Hàm số $y=\sin 2x$ là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^2+2$ là

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=x\left(4x^2+2\right)$ là

Cho hàm số $f(x)=e^{2x}+\sin 3x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=5^x$ là

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=e^x\left(2e^{2x}-3\right)$ là

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=4{\sin }^{2}x$ là

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ là

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=4\sin x\cos 3x$ là

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{3x^3+2x^2+5}{x},x\ne 0$ là

Họ các nguyên hàm $\int \frac{1}{(2x-1{)}^2}\mathrm{d}x$ là

Biết $\int \frac{x+1}{-x^2+3x-2}\mathrm{d}x=a.\ln |x-1|+b.\ln |x-2|+C$. Tính $a+b$.

Biết $F(x)=a{x}^2+bx+1,(a;b\in \mathbb{R})$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)=2x+1$. Tổng $a+b$ bằng

Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=e^{2x}$ và $F(0)=0$. Giá trị của $F(\ln 3)$ bằng

Cho hàm số $f(x)=4x^3-6x$. Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ và $F(0)=2$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là $f^{\prime }(x)=8x^3+\sin x,\forall x\in \mathbb{R}$.

Cho hàm số $f(x)=2\cos x$ và $g(x)=2{\sin }^2\frac{x}{2}$.

Tại một khu di tích vào ngày lễ hội hằng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu diễn bằng hàm số $Q^{\prime }(t)=4t^3-72t^2+288t$, trong đó $t$ tính bằng giờ $(0\le t\le 13)$, $Q^{\prime }(t)$ tính bằng khách/giờ (Nguồn: R.Larson and B.Eawads, Calculus 10e, Cengage). Sau 2 giờ đã có 500 người có mặt.

Cho $\int \frac{2x+1}{x-2}\mathrm{d}x=ax+b\ln |x-2|+C$ với $a,b\in \mathbb{Q}$. Tính giá trị $a+b$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có $\int f(x)\mathrm{d}x=x\sin x+C$. Tính $f\left(\frac{\pi }{2}\right)$.

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=e^{x^3-12x}\left(x^4-4x^2\right)$. Biết hàm số $F(x)$ đồng biến trên khoảng $(a;+\infty )$, giá trị nhỏ nhất của $a$ bằng bao nhiêu?

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+5& \text{khi }x\ge 1\\ 3x^2+4& \text{khi }x<1\end{array}$. Giả sử $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $F(0)=2$. Tính giá trị của $F(-1)+2F(2)$.

Một chiếc ô tô đang chạy với vận tốc $15m/s$ thì nhìn thấy chướng ngại vật trên đường cách đó $50m$, người lái xe hãm phanh khẩn cấp. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t)=-3t+15(m/s)$, trong đó $t$ (giây). Gọi $s(t)$ là quãng đường xe ô tô đi được trong thời gian $t$ (giây) kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được bao nhiêu mét?

Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi $h(t)$ là thể tích nước bơm được sau $t$ phút. Biết $h^{\prime }(t)=3a{t}^2+bt,(a;b\in \mathbb{R})$ và ban đầu bể không có nước. Sau 5 phút thì thể tích nước trong bể là $150d{m}^3$, sau 10 phút thì thể tích nước trong bể là $1100d{m}^3$. Thể tích của nước trong bể sau khi bơm được 15 phút là bao nhiêu $d{m}^3$?

Xét $f(x)$ là một hàm số tùy ý, $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a,b]$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Biết $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=2$ và $\underset{1}{\overset{2}{\int }}g(x)\mathrm{d}x=6$. Khi đó, $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[f(x)-g(x)\right]\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên đoạn $[1;2]$, $f(1)=1$ và $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=5$. Giá trị $f(2)$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(2)-F(0)=10$. Khi đó $\underset{0}{\overset{2}{\int }}3f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Biết $F(x)=x^3$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Giá trị của $\underset{1}{\overset{3}{\int }}(1+f(x))\mathrm{d}x$ bằng

Cho $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=5$ và $\underset{0}{\overset{5}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=-3$, khi đó $\underset{2}{\overset{5}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0;3]$. Nếu $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=2$ thì $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left[x-3f(x)\right]\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có một nguyên hàm là $F(x)$. Biết $F(1)=8$, giá trị $F(9)$ được tính bằng công thức nào dưới đây?

Biết $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(x+\frac{2}{x}\right)\mathrm{d}x=a+2\ln b$, với $a,b\in \mathbb{Z}$. Tổng $a+b$ bằng

Có bao nhiêu số thực $b$ thuộc khoảng $(\pi ;3\pi )$ sao cho $\underset{\pi }{\overset{b}{\int }}4\cos 2x\mathrm{d}x=1$?

Biết $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{6}}{\int }}4{\sin }^{2}x\mathrm{d}x=a\pi +b\sqrt{3}$, $(a,b\in \mathbb{Q})$. Tính $ab$.

Gọi là các số nguyên sao cho $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\sqrt{e^{x+2}}\mathrm{d}x=2a{e}^2+be$, $(a;b\in \mathbb{Z})$. Giá trị của $a^2+b^2$ bằng

Biết $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}=a\sqrt{3}+b\sqrt{2}+c$ với $a$, $b$, $c$ là các số hữu tỷ. Tính $P=a+b+c$.

Biết $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{6x+3}{3x+5}\mathrm{d}x=a+b\ln 2+c\ln 5,(a;b;c\in \mathbb{Q})$. Tính $a+2b+3c$.

Biết $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{2x+1}{x^2-4}\mathrm{d}x=a\ln 2+b\ln 3,(a;b\in \mathbb{Q})$. Tính $ab$.

Cho $\underset{4}{\overset{5}{\int }}\frac{x}{{\left(x-1\right)}^2}\mathrm{d}x=a+b\ln 2+c\ln 3$ với $a,b,c$ là các số hữu tỷ. Giá trị của $abc$ bằng

Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ là $f^{\prime }\left(x\right)=\sin x\cos x$ và $f\left(0\right)=1$. Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x$.

Cho hàm số $f\left(x\right)$. Biết $f\left(0\right)=4$ và $f^{\prime }\left(x\right)=2{\sin }^{2}x+1,\forall x\in \mathbb{R}$. Khi đó, $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $f\left(x\right)$ có $f\left(0\right)=-2$ và đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$, $\forall x>-1$. Tích phân $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm đa thức bậc ba $y=f\left(x\right)$ có đồ thị hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ được cho bởi hình vẽ sau:



Giá trị biểu thức $f\left(3\right)-f\left(2\right)$ bằng

Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên $R$, $F\left(x\right)$ là nguyên hàm của $f\left(x\right)$ và $\underset{0}{\overset{9}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x=9$.

Cho hàm số $f(x)=3x^2-2x-1$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)$.

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-2x& \text{khi }x\ge 2\\ x-2& \text{khi }x<2\end{array}$.

Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v_1(t)=2t(m/s)$, trong đó thời gian $t$ tính bằng giây. Sau khi chuyển động được 12 giây thì ô tô gặp chướng ngại vật và người tài xế phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v_2(t)$ và gia tốc là $a=-8\left(m/{\mathrm{s}}^2\right)$ cho đến khi dừng hẳn.

Cho $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)\mathrm{d}x=a\ln 2+b\ln 3+c,\left(a;b;c\in \mathbb{Z}\right)$. Tính $a+b+c$.

Cho hàm số $f(x)$. Biết $f(0)=4$ và $f^{\prime }(x)=2{\sin }^{2}x+1,\forall x\in \mathbb{R}$. Biết $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\frac{{\pi }^2+a\pi +b}{16};(a;b\in \mathbb{Z})$, tính $a+b$.

Đường gấp khúc $ABC$ trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-2;3]$.



Tính $\underset{-2}{\overset{3}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$.

Biết $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x\mathrm{d}x}{(x+2{)}^2}=a+b\ln 2+c\ln 3$ với $a,b,c\in \mathbb{Q}$. Tính $3a+b+c$.

Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc $v$ (km/h) phụ thuộc thời gian $t$ (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh $I(2;9)$ và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên dưới:



Tính gần đúng đến hàng phần chục quãng đường $s$ mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.

Một chất điểm $A$ xuất phát từ $O$, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v(t)=\frac{1}{120}{t}^2+\frac{58}{45}t$ $(m/s)$, trong đó $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc $A$ bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm $B$ cũng xuất phát từ $O$, chuyển động thẳng cùng hướng với $A$ nhưng chậm hơn 3 giây so với $A$ và có gia tốc bằng $a\left(m/s^2\right)$ ($a$ là hằng số). Sau khi $B$ xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp $A$. Tính vận tốc của $B$ tại thời điểm đuổi kịp $A$.

Cho hàm số $y=f(x)$ thoả mãn hàm $y=f^{\prime }(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình bên. Giá trị của biểu thức $f(4)-f(-4)$ bằng

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2$ và đường thẳng $y=2x+3$ có diện tích là

Hình vẽ bên biểu diễn trục hoành cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại ba điểm có hoành độ $x_1,x_2,x_3$ $(x_1<x_2<x_3)$. Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ và trục hoành là

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x},y=2-x$ và trục $Ox$ được tính bởi công thức

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị cắt trục $Ox$ tại đúng 4 điểm phân biệt (hình bên). Biết rằng ${\int }_{-1}^{1}f(x)\mathrm{d}x=21$, ${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=-2$, ${\int }_2^{3}f(x)\mathrm{d}x=3$. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=f(x)$ và trục $Ox$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[a;b]$, $(a,b\in \mathbb{R},a<b)$. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x),x=a,x=b$ và trục hoành. Quay hình phẳng $D$ quanh trục $Ox$ ta được một khối tròn xoay có thể tích được tính bởi công thức

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x},y=2-x$ và trục hoành quay xung quanh $Ox$ được tính bởi công thức

Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian $v=f(t)$ (với $f(t)\ge 0\forall t$). Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm $a$ đến thời điểm $b$ là:

Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc $v_0=15m/s$ thì tăng vận tốc với gia tốc $a(t)=t^2+4t\left(m/s^2\right)$. Quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc là

Cho phần vật thể $(T)$ giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình $x=0$ và $x=2$. Cắt phần vật thể $(T)$ bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x(0\le x\le 2)$, ta được thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng $x\sqrt{2-x}$. Tính thể tích $V$ của phần vật thể $(T)$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, xét parabol $(P):y=x^2-4$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ cắt trục $Ox$ tại ba điểm có hoành độ $a<b<c$ như hình vẽ:

Cho các hàm số $y=f(x),y=g(x)$ liên tục trên đoạn $[0;1]$ và có đồ thị như hình bên. Hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=f(x),y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=0,x=1$.