Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, tính góc giữa hai đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+5}{1}$ và $\Delta :\frac{x-1}{4}=\frac{y+2}{3}=\frac{z}{5}$.

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=x(3x-4)$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, đường thẳng đi qua hai điểm $A(-1;2;5)$ và $B(1;-4;3)$ có phương trình là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của điểm $M(2;-5;1)$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ có tọa độ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-1+2t\\ z=3-t\end{array}$ $(t\in \mathbb{R})$. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng $d$?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(0;1;-2)$ và song song với mặt phẳng $(Q):x+y-z+3=0$ có phương trình là

Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;4]$ thỏa mãn $\underset{-1}{\overset{4}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=6$ và $\underset{-1}{\overset{4}{\int }}g(x)\mathrm{d}x=-3$. Giá trị $\underset{-1}{\overset{4}{\int }}\left[f(x)+g(x)\right]\mathrm{d}x$ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=3+2t\\ z=-5\end{array}$ $(t\in \mathbb{R})$ và mặt phẳng $(P):2x+3y+z-6=0$.

Một công ty có hai phân xưởng $I$ và $II$ dùng để sản xuất bóng đèn led. Biết rằng phân xưởng $I$ sản xuất $40\%$ số bóng đèn của công ty và phân xưởng $II$ sản xuất $60\%$ số bóng đèn của công ty. Tỉ lệ bóng đèn bị lỗi của phân xưởng $I$ và phân xưởng $II$ lần lượt là $3\%$ và $4\%$. Chọn ngẫu nhiên một bóng đèn của công ty để kiểm tra.

Gọi $A$ là biến cố: “Bóng đèn được kiểm tra do phân xưởng $I$ sản xuất”;

$B$ là biến cố: “Bóng đèn được kiểm tra bị lỗi”.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị trên đoạn $[0;5]$ gồm đoạn thẳng $AB$ và một phần của parabol $(P)$ như hình vẽ.

Một khu vực được thiết lập một hệ trục tọa độ $Oxyz$ với mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trên, mỗi đơn vị trên các trục ứng với $1m$. Một chiếc flycam ở vị trí $I(20;30;10)$ đang phát sóng wifi bao phủ một vùng không gian trong phạm vi $20m$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):x-y-z-2=0$, $(Q):2x-y+z-3=0$ và điểm $A(1;0;-2)$. Biết rằng phương trình mặt phẳng $(R)$ đi qua điểm $A$ đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ có dạng $ax+by+cz+4=0$ với $a,b,c$ là các số thực. Tính $a+b+c$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y-4z=0$ và hai điểm $A(4;-4;2)$, $B(6;0;6)$. Gọi $M(a;b;c)$ với $a,b,c$ là các số thực, là một điểm thuộc mặt cầu $(S)$ sao cho $MA+MB$ đạt giá trị lớn nhất. Tính $a^2+3b^2+2c^2$.

Có hai chiếc hộp đựng các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Biết rằng hộp $I$ có 5 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu xanh; hộp $II$ có 4 viên bi màu đỏ và 6 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp $I$ bỏ sang hộp $II$. Sau đó, lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp $II$. Tính xác suất để viên bi lấy từ hộp $I$ chuyển sang hộp $II$ và viên bi lấy từ hộp $II$ khác màu (kết quả quy tròn đến hàng phần trăm).

Để chuẩn bị cho hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp 12B dự định dựng một cái lều trại có hình parabol như hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang $3m$, chiều dài $5m$ và đỉnh trại cách nền $2,5m$.
Tính thể tích phần không gian bên trong của trại (đơn vị $m^3$, kết quả quy tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-t\\ z=3+2t\end{array}(t\in \mathbb{R})$. Điểm $M(a,b,c)$ với $a>0$ thuộc đường thẳng $d$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(P):2x+2y+z=0$ bằng 3. Tính $abc$.

Người ta trộn lẫn 1 kilogam hạt giống loại $A$ với 1,5 kilogam hạt giống loại $B$ để trồng trên một thửa ruộng. Giả sử số hạt giống trong 1 kilogam của mỗi loại là bằng nhau. Xác suất nảy mầm của hạt giống loại $A$ gấp 1,25 lần xác suất nảy mầm của hạt giống loại $B$. Chọn ngẫu nhiên một hạt giống nảy mầm, tính xác suất để hạt này thuộc loại $A$ (kết quả quy tròn đến hàng phần trăm), biết rằng xác suất nảy mầm của các hạt giống trên thửa ruộng này là $87,5\%$.