Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(2;-1;3)$ và mặt phẳng $(P):2x-y+2z+4=0$. Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $M$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$.

Gieo lần lượt hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6, biết rằng con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm.

Giả sử tỉ lệ người dân của một tỉnh nghiện thuốc lá là $20\%$, tỉ lệ người bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là $70\%$ và trong số người không nghiện thuốc lá là $15\%$. Xác suất khi ta gặp ngẫu nhiên một người dân ở tỉnh đó thì khả năng người đó bị bệnh phổi là bao nhiêu $\%$?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, tam giác $SAD$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ dưới đây. Hãy xác định tọa độ đỉnh $S$ theo $a$.

Cho $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)=x^2+1$ thỏa mãn $F(0)=4$. Khi đó giá trị $F(3)$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx=2;\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(x)dx=6$. Tính giá trị tích phân $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f(x)dx$.

Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.
Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;-1;3)$ và hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-1-t\\ z=1+t\end{array}$ và $d_2:\frac{x-3}{3}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-1}{-1}$. Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A$, cắt đường thẳng $d_1$ và vuông góc với đường thẳng $d_2$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+2x-4y-6z+m-3=0$ và mặt phẳng $(P):2x-y+2z-8=0$.

Có hai hộ đựng các viên cùng kích thước và khối lượng. Hộ thứ nhất chứa 5 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Hộ thứ hai chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một viên từ hộ thứ nhất chuyển sang hộ thứ hai, sau đó lấy ra ngẫu nhiên một viên từ hộ thứ hai. Gọi $A$ là biến cố “ Viên bi được lấy ra từ hộ thứ hai là viên bi đỏ “, $B$ là biến cố “ Viên bi được lấy ra từ hộ thứ nhất chuyển sang hộ thứ hai là viên bi đỏ”.

Cho đồ thị hàm số $y=x^3-2x^2-3x+4(C)$ và đường thẳng $d:y=2x-2$.

Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(1;2;-3)$ và chứa trục $Ox$ có dạng $ax+3y+cz+d=0$. Khi đó giá trị của biểu thức $2a+3c-d$ là bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ tâm $I(-2;3;0)$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x-4}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-3}{2}$. Biết đường thẳng $\Delta$ cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho đoạn $AB=8$. Tính bán kính mặt cầu $(S)$.

Biết góc quan sát ngang của một camera là $116^{\circ }$. Trong không gian $Oxyz$, camera được đặt tại điểm $A(2;1;5)$ và chiếu thẳng về phía mặt phẳng $(P):2x-y-2z+13=0$. Hỏi vùng quan sát được đặt trên mặt phẳng $(P)$ của camera là hình tròn có đường kính là bao nhiêu? (làm tròn đến kết quả chữ số hàng chục).

Có 40 phiếu thi Toán 12, mỗi phiếu chỉ có một câu hỏi, trong đó có 13 câu hỏi lý thuyết (gồm 5 câu hỏi khó và 8 câu hỏi dễ) và 27 câu hỏi bài tập (gồm 12 câu hỏi khó và 15 câu hỏi dễ). Một học sinh rút ngẫu nhiên ra một phiếu. Tìm xác suất để học sinh rút được câu hỏi lý thuyết khó biết rằng học sinh đó rút được phiếu câu hỏi khó. (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ 2)

Một chiếc hộp có 80 viên bi, trong đó có 50 viên bi màu đỏ và 30 viên bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có $60\%$ số viên bi màu đỏ đánh số và $50\%$ số viên bi màu vàng có đánh số, những viên bi còn lại không đánh số. Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là bao nhiêu? (kết quả là tròn đến hàng phần trăm)

Cho hai hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+1$ và $g(x)=d{x}^2+ex-1$. Biết đồ thị hai hàm số cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt là $-1;1;2$ như hình vẽ dưới đây.



Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đã cho (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).