Cho đồ thị hàm số $y=x^3-2x^2-3x+4(C)$ và đường thẳng $d:y=2x-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-2x^2-3x+4=2x-2\iff x^3-2x^2-5x+6=0\iff (x+2)(x-1)(x-3)=0$, được $x=-2,1,3$.

a) Tại $x=-2$: $y=-6$; $x=1$: $y=0$; $x=3$: $y=4$ (thay vào $d:y=2x-2$ đều đúng). Vậy a đúng.

b) $f(x)=x^3-2x^2-3x+4=(x-1)(x^2-x-4)$; trên $[-1;2]$, $f>0$ trên $[-1;1)$ và $f<0$ trên $(1;2]$. Diện tích $={\int }_{-1}^{1}fdx-{\int }_1^{2}fdx$. Với $F(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+4x$: $F(1)=\frac{25}{12}$, $F(-1)=-\frac{55}{12}$, $F(2)=\frac{2}{3}$. Diện tích $=\left(\frac{25}{12}+\frac{55}{12}\right)+\left(\frac{2}{3}-\frac{25}{12}\right)=\frac{80}{12}-\frac{17}{12}=\frac{63}{12}=\frac{21}{4}$. Vậy b đúng.

c) Diện tích giữa $(C)$ và $d$: $g(x)=x^3-2x^2-5x+6=(x+2)(x-1)(x-3)$, $g>0$ trên $(-2;1)$, $g<0$ trên $(1;3)$. Với $G(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}+6x$: $G(1)=\frac{37}{12}$, $G(-2)=-\frac{38}{3}$, $G(3)=-\frac{9}{4}$. Diện tích $=\left(\frac{37}{12}+\frac{38}{3}\right)+\left(-\frac{9}{4}-\frac{37}{12}\right)=\frac{189}{12}-\frac{64}{12}=\frac{125}{12}\ne \frac{253}{12}$. Vậy c sai.

d) Hai miền: $S_1=\frac{189}{12}$, $S_2=\frac{64}{12}$, tỉ số $\frac{S_1}{S_2}=\frac{189}{64}\ne \frac{63}{16}=\frac{252}{64}$. Vậy d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giải $x^3-2x^2-5x+6=0$ được $x=-2,1,3$; tọa độ các điểm $A(-2;-6),B(1;0),C(3;4)$ thỏa cả hai phương trình.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)>0$ trên $[-1;1)$, $f(x)<0$ trên $(1;2]$; tích phân cho diện tích $=\frac{21}{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích giữa $(C)$ và $d$ bằng ${\int }_{-2}^3|x^3-2x^2-5x+6|dx=\frac{125}{12}$, không phải $\frac{253}{12}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_1=\frac{189}{12}$, $S_2=\frac{64}{12}$ nên $\frac{S_1}{S_2}=\frac{189}{64}\ne \frac{63}{16}$.