Họ các nguyên hàm của hàm số $f(x)=3\cos x-4\sin x$ là

Một nguyên hàm của hàm số $f(x)=2025^x$ là

Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=e^x+2e^{-x}-2x$ thỏa mãn $F(0)=1$

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{-x^2-2x}{(x+1{)}^4}$ thỏa mãn $F(-2)=-\frac{2}{3}$. Tính $F(1)$.

Một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=e^x\left(1-\frac{e^{-x}}{x^2}\right)$ thỏa mãn $F(1)=e$ là:

Giả sử nguyên hàm của hàm số $f(x)={\sin }^{5}x.\cos x$ là $F(x)$. Tìm $F(x)$ biết $F(0)=\ln 2+\frac{\pi }{2}$.

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm là $f^{\prime }(x)=\frac{2x-3}{x-2}$, $\forall x\in \mathbb{R}\setminus \{2\}$ thỏa mãn $f(1)=1$ và $f(3)=2$. Giá trị của biểu thức $f(0)+2f(4)$ bằng

Sự sản sinh virút Zika ngày thứ $t$ có số lượng là $N(t)$ con, biết $N^{\prime }(t)=\frac{1000}{t}$ và số lượng virút lúc đầu là 250.000 con. Tính số lượng vi rút sau 10 ngày.

Bạn Minh Hiền ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới với vận tốc chuyển động của máy báy là $v(t)=3t^2+5(m/s)$. Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:

Bác A bơm nước vào bể chứa nước. Gọi $h(t)$ là thể tích nước bơm được sau $t$ giây. Cho $h^{\prime }(t)=3a{t}^2+bt\left(m^3/s\right)$ và ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là $150\left(m^3\right)$. Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là $1100\left(m^3\right)$. Hỏi thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là bao nhiêu.

Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$. Tích phân ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Cho hai hàm số $f(x),g(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và số thực $k$ tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Giả sử ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=2$, ${\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x=3$ với $a<b<c$ thì ${\int }_b^{c}f(x)\mathrm{d}x$ bằng?

Cho $$\underset{0}{\overset{m}{\int }}\left(3x^2-2x+1\right)\mathrm{d}x=6.$$ Giá trị của tham số $m$ thuộc khoảng nào sau đây?

Biết $I=\underset{-1}{\overset{3}{\int }}\left|x^2-3x+2\right|\mathrm{d}x=\frac{a}{b}$, với $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast },\frac{a}{b}$ tối giản. Tính $T=a-b$.

Biết $I=\underset{-1}{\overset{3}{\int }}\frac{2x+1}{x+2}\mathrm{d}x=a-b\ln c$, với $a,b,c\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tính $T=a+b+c$.

Biết $I=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\frac{2x^2+x-2}{x+1}\mathrm{d}x=b-a\ln a$, với $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tính $T=a+2b$.

Cho $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=5$. Tính $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left[f(x)+2\sin x\right]\mathrm{d}x=5$. (Bản gốc in dấu "$=5$" cuối đề — lỗi in của tài liệu gốc, giữ nguyên theo nguồn.)

Cho hàm số $f(x)$. Biết $f(0)=4$ và $f^{\prime }(x)=2{\sin }^{2}x+1,\forall x\in \mathbb{R}$, khi đó $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(3^x-2e^x\right)\mathrm{d}x$ bằng

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{{\left(e^x-1\right)}^2}{2e^x}\mathrm{d}x$ bằng

$\underset{0}{\overset{4}{\int }}\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\mathrm{d}x$ bằng

Một ô tô đang chạy với vận tốc $36km/h$ thì người lái đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động thẳng chậm dần đều với vận tốc $v(t)=10-5t(m/s)$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm $t$ (giây) là $v(t)=t^2-3t+2$ $(m/s)$. Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian $1\le t\le 3$, tức là tính $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|v(t)\right|dt$$

Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức $P^{\prime }(x)=-0,0002x+3$. Trong đó, $P(x)$ là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được $x$ đơn vị sản phẩm. Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 50 lên 70 đơn vị sản phẩm.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Diện tích hình phẳng được tô đậm trong hình tính theo công thức nào?

Diện tích $S$ hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^3+2x+1$, trục hoành, $x=1$ và $x=2$ là

Tìm $a$ để diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi $(P):y=\frac{x^2-2x}{x-1}$, đường thẳng $d:y=x-1$ và $x=a$, $x=2a$ $(a>1)$ bằng $\ln 3$?

Khi cắt một vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $(1\le x\le 3)$, mặt cắt là tam giác vuông có một góc $45^0$ và độ dài một cạnh góc vuông là $\sqrt{4-\frac{1}{2}{x}^2}$. Tính thể tích vật thể trên.

Cho hình $(H)$ giới hạn bởi các đường $y=-x^2+2x$, trục hoành. Quay hình phẳng $(H)$ quanh trục $Ox$ ta được khối tròn xoay có thể tích là:

Cho hàm số $f(x)=\frac{2x+1}{x-1}$ với $x\ne 1$.

Cho hàm số $f(x)=2^{2x}$ và hàm số $g(x)=\cot x$.

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)=\frac{2}{2x-1}$, $f(0)=1$, $f(1)=0$.

Một ô tô đang chạy thì người lái đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t)=-12t+24(m/s)$ trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh.

Một vật chuyển động với gia tốc $a(t)=\frac{1}{t^2+3t+2}\left(m/{\mathrm{s}}^2\right)$, trong đó t là khoảng thời gian tính từ thời điểm ban đầu. Vận tốc chuyển động của vật là $v(t)$, vận tốc ban đầu của vật là $v_0=3\ln 2(m/s)$

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Giả sử $F(x)$ và $G(x)$ là các nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$. Khi đó

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-2x& \text{khi }x\ge 2\\ x-2& \text{khi }x<2\end{array}$.

Cho hàm số $y=f(x)=2^x$. Khi đó

Sau khi xuất phát, ô tô di chuyển với tốc độ $v(t)=2,01t-0,025t^2(0\le t\le 10)$. Trong đó $v(t)$ tính theo $m/s$, thời gian $t$ tính theo $s$ với $t=0$ là thời điểm xe xuất phát.

Tại một nhà máy sản xuất một loại phân bón, gọi $P(x)$ là lợi nhuận (tính theo triệu đồng) thu được từ việc bán $x$ (tấn) sản phẩm trong một tuần. Khi đó đạo hàm $P^{\prime }(x)$ gọi là lợi nhuận cận biên, cho biết tốc độ tăng lợi nhuận theo lượng sản phẩm bán được. Giả sử lợi nhuận cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức $P^{\prime }(x)=17-0,025x$ với $0\le x\le 100$. Biết nhà máy lỗ 24 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần.

Cho một viên gạch men có dạng hình vuông $OABC$ như hình vẽ. Sau khi tọa độ hóa, ta có $O(0;0)$, $A(0;1)$, $B(1;1)$, $C(1;0)$ và hai đường cong lần lượt là đồ thị hàm số $y=x^3$ và $y=\sqrt[3]{x}$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$

Cho vật thể $(T)$ giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=-1$; $x=1$. Cắt vật thể $(T)$ bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x(-1\le x\le 1)$ ta thu được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng $2\sqrt{1-x^2}$.

Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x}$, $y=0$ và $x=4$ quanh trục $Ox$.

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y=x^2-4x+4(C_1)$, $y=4x-12(C_2)$. Khi đó:

Gọi $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)=(2x-3{)}^2$ thỏa mãn $F(0)=\frac{1}{3}$. Giá trị của biểu thức ${\log }_2\left[3F(1)-2F(2)\right]$ bằng

Gọi $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{x^2+a}{x-1}$ trên khoảng $(-\infty ;1)$ thỏa mãn điều kiện $F(0)=1$. Tìm $a$ khi $F(1-e)=\frac{1}{2}{e}^2-2e$.

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)={\mathrm{e}}^x+2x$ thỏa mãn $F(0)=\frac{3}{2}$. Tìm $F(2)$ (làm tròn đến hàng phần chục).

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)=\frac{2}{2x-1}$, $f(0)=1$, $f(1)=2$. Biết $f(-2)+f(3)=a+b\ln 5$ với $a,b\in \mathbb{Z}$. Tính $T=a+b$.

Trọng lượng của một bào thai người nặng khoảng 0,04 ounce (1 ounce = 28,3485 gram) sau 8 tuần tuổi. Trong suốt 35 tuần tiếp theo, trọng lượng của bào thai này được dự đoán tăng với tốc độ $B^{\prime }(t)=\frac{2436e^{-0,193t}}{(1+784e^{-0,193t}{)}^2}$, $8\le t\le 43$ với $B(t)$ là cân nặng tính bằng ounce và $t$ là thời gian tính bằng tuần. Hãy tính trọng lượng của bào thai sau 25 tuần tuổi (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần trăm).

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{-1,0\}$ thỏa mãn $f(1)=2\ln 2+1$ và $x(x+1)f^{\prime }(x)+(x+2)f(x)=x(x+1)$, $\forall x\in \mathbb{R}\setminus \{-1;0\}$. Biết $f(2)=a+b\ln 3$, với $a$, $b$ là hai số hữu tỉ. Tính $T=a^2-b$? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Cho Biết ${\int }_2^{3}f(x)dx=4$ và ${\int }_2^{3}g(x)dx=1$. Tính ${\int }_2^3[f(x)-g(x)]dx$?

Cho ${\int }_{-2}^{2}f(x)\mathrm{d}x=1$, ${\int }_{-2}^{4}f(t)\mathrm{d}t=-4$. Tính ${\int }_2^{4}f(y)\mathrm{d}y$.

Cho hàm số $y=f(x)=\{\begin{array}{ll}3x^2& khi0\le x\le 1\\ 4-x& khi1\le x\le 2\end{array}$. Tính tích phân ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x$.

Cho ${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{x^2+3x+2}=a\ln 2+b\ln 3$ với $a,b$ là các số nguyên. Tính $a+b$

Tích phân $\mathrm{I}={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^0\sin 2025xdx=-\frac{a}{b}$, với $a,b\in \mathbb{N}$; $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a+b$

Biết $\mathrm{I}={\int }_{\ln 3}^{\ln 6}\frac{\mathrm{d}x}{{\mathrm{e}}^x+2{\mathrm{e}}^{-x}-3}=3\ln a-\ln b$ với $a$, $b$ là các số nguyên dương. Tính $P=ab$.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2$, $y=-2x+3$, $x=2$, $x=0$?

Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 60 $(cm)$. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên).
Diện tích phần cánh hoa của viên gạch là:

Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox: $y=x^2+3$, $y=0$, $x=0$, $x=2$. Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị

Có một cốc nước thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là $6cm$, chiều cao lòng cốc là $10cm$ đang đựng một lượng nước. Tính thể tích (đơn vị: $c{m}^3$) lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy cốc.

Một khối cầu có bán kính là $5(dm)$. Người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc với bán kính và cách tâm một khoảng $3(dm)$ để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Tính thể tích của chiếc lu là $a\pi \left(d{m}^3\right)$. Giá trị của $a$ bằng

Tìm các nguyên hàm sau

a. $\int \left(x^2-3x+4\right)\mathrm{d}x$

b. $\int \frac{x^2+3x+2}{x}\mathrm{d}x$

c. $\int \left(\frac{2425}{x}+\frac{1}{x^2}\right)\mathrm{d}x$

d. $\int \frac{\mathrm{d}x}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}$

e. $\int \frac{1}{3^x}\mathrm{d}x$

f. $\int \frac{2^{x+1}-5^{x-1}}{10^x}\mathrm{d}x$

Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=e^{2x}$ và $F(0)=0$. Tính $F(\ln 3)$.

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$ thoả mãn $f^{\prime }(x)=\frac{2x-3}{x+2}$, $f(0)=1$ và $f(-4)=2$. Giá trị của biểu thức $f(-1)-f(-3)$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thoả mãn $f(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}$. Biết $f(0)=1$ và $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=2-2x$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $f(x)=m$ có hai nghiệm thực phân biệt.

Tính các tích phân sau

a. ${\int }_0^2{\left(x^2+1\right)}^2\mathrm{d}x$

b. ${\int }_1^2\frac{2x^3+2x^2+1}{x+1}\mathrm{d}x$

c. ${\int }_0^{\pi }{\cos }^{2}x\mathrm{d}x$

d. ${\int }_0^1{2}^x\cdot 3^x\mathrm{d}x$

e. ${\int }_0^8\left|x^2-6x\right|\mathrm{d}x$

f. ${\int }_0^2\sqrt{e^{x+2}}\mathrm{d}x$

Một ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t)=27-9\sqrt{t}$. Tính quãng đường mà ô tô di chuyển được từ thời điểm $t=0$ đến thời điểm mà vật dừng lại.