Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+1}{-1}$, $d_2:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=0\\ z=-t\end{array}$. Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $d_1$ tạo với đường thẳng $d_2$ một góc $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
d₁ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(2;-2;-1)$ đi qua điểm $A(1;2;-1)$; d₂ có $\overrightarrow{u_2}=(1;0;-1)$.

Mặt phẳng (P) chứa d₁ nên vecto pháp tuyến $\vec{n}=(a;b;c)$ thỏa $\vec{n}\cdot \overrightarrow{u_1}=0\Rightarrow 2a-2b-c=0\Rightarrow c=2a-2b$.

Góc giữa (P) và d₂ bằng 45°:
$$\sin 45^{\circ }=\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{u_2}|}{|\vec{n}|\cdot |\overrightarrow{u_2}|}=\frac{|a-c|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Suy ra $(a-c{)}^2=a^2+b^2+c^2$. Thay $c=2a-2b$: $(2b-a{)}^2=5a^2+5b^2-8ab\iff 4a^2-4ab+b^2=0\iff (2a-b{)}^2=0\Rightarrow b=2a$.

Chọn $a=1$: $\vec{n}=(1;2;-2)$ (kiểm tra: $\vec{n}\cdot \overrightarrow{u_1}=2-4+2=0$; $|a-c|=3=|\vec{n}|$ thỏa mãn).

(P) qua $A(1;2;-1)$: $1(x-1)+2(y-2)-2(z+1)=0\iff x+2y-2z-7=0$.

Vậy $(P):x+2y-2z-7=0$. Đây là mặt phẳng duy nhất thỏa yêu cầu.