Trong không gian $Oxyz$, gọi $d$ là đường thẳng đi qua $O$, thuộc mặt phẳng $(Oyz)$ và cách điểm $M(1;-2;1)$ một khoảng nhỏ nhất. Khi đó côsin của góc giữa $d$ và trục tung bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Vì $d$ đi qua $O$ và thuộc mặt phẳng $(Oyz)$ nên $d$ có vectơ chỉ phương dạng $\vec{u}=(0;b;c)$. Ta có $\overrightarrow{OM}=(1;-2;1)$ với $|\overrightarrow{OM}{|}^2=1+4+1=6$. Khoảng cách từ $M$ đến $d$ là
$$d(M,d{)}^2=|\overrightarrow{OM}{|}^2-\frac{(\overrightarrow{OM}\cdot \vec{u}{)}^2}{|\vec{u}{|}^2}=6-\frac{(-2b+c{)}^2}{b^2+c^2}.$$
Khoảng cách nhỏ nhất ứng với giá trị lớn nhất của $\frac{(-2b+c{)}^2}{b^2+c^2}$. Theo bất đẳng thức Cauchy–Schwarz, $(-2b+c{)}^2\le (b^2+c^2)((-2{)}^2+1^2)=5(b^2+c^2)$, dấu bằng khi $\frac{b}{-2}=\frac{c}{1}$, tức $\vec{u}$ cùng phương với hình chiếu của $\overrightarrow{OM}$ lên $(Oyz)$ là $\vec{u}=(0;-2;1)$. Khi đó $d_{\min }^2=6-5=1$, tức $d_{\min }=1$ (đúng bằng khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(Oyz)$, vì đường thẳng $d$ qua $O$ và chân đường vuông góc từ $M$ xuống $(Oyz)$).

Trục tung là trục $Oz$ có vectơ chỉ phương $\vec{k}=(0;0;1)$. Cosin góc giữa $d$ và trục tung:
$$\cos \alpha =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{k}|}{|\vec{u}|\cdot |\vec{k}|}=\frac{|1|}{\sqrt{(-2{)}^2+1^2}\cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.$$
Vậy cosin của góc giữa $d$ và trục tung bằng $\frac{\sqrt{5}}{5}\approx 0,4472$.